Skip to article frontmatterSkip to article content
Site not loading correctly?

This may be due to an incorrect BASE_URL configuration. See the MyST Documentation for reference.

فصل ۲: موج‌های الکترومغناطیسی و برهم‌کنش آن‌ها با فراسطوح

پرسش محوری: یک سطح باید چه تغییری در میدان الکترومغناطیسی ایجاد کند و چگونه تشخیص می‌دهیم که این تغییر واقعاً رخ داده است؟

میدانی از شیشه به هوا می‌رسد و دامنهٔ الکتریکی عبوری آن به ۱٫۲ برابر دامنهٔ فرودی افزایش می‌یابد. در مسئله‌ای دیگر، آن سوی یک مرز بی‌اتلاف میدان وجود دارد، ولی توان خالصی در راستای عمود بر مرز منتقل نمی‌شود. ورقه‌ای که حداکثر نیمی از توان یک باریکه را جذب می‌کند، با دو باریکهٔ مناسب تمام توان را جذب می‌کند. هیچ‌کدام ناقض بقای انرژی نیست: باید میدان را از توان، میدان موضعی را از کانال انتشار، و یک نوع روشن‌سازی را از نوع دیگر جدا کنیم.

این سه معمای فصل‌اند. پیش‌بینی اولیهٔ خود را بنویسید و پس از مطالعه به آن بازگردید. آزمایشگاه مرورگری به نصب نرم‌افزار نیاز ندارد؛ دفترچهٔ اجراشده معادلات و کنترل‌ها را آشکار می‌کند. مثال‌های حل‌شده و خودآزمایی مسیر مکمل یادگیری‌اند. معادل انگلیسی اصطلاحات را در واژه‌نامه ببینید.

۲.۱ مسیر پیش‌نیازها

در پایان فصل باید بتوانید پاسخ مرز تخت را به‌جای حفظ کردن استخراج کنید؛ توان را با ادمیتانس صحیح محاسبه کنید؛ انتشار، میرایی اوانسنت و آستانهٔ قطع را تشخیص دهید؛ قطبش همدوس را با بردار جونز نمایش دهید؛ و سازگاری ضرایب پراکندگی با یک مدل ورقهٔ مشخص را بسنجید.

ایستگاهپرسش پیش‌بینیابزار موردنیاز
موجانرژی در چه جهتی حرکت می‌کند؟فازور، E\mathbf E، H\mathbf H و شار پوینتینگ
قطبشآیا با شدت ثابت، میدان می‌تواند تغییر کند؟فاز نسبی مؤلفه‌ها و ماتریس جونز
مرزآیا $t
زاویهٔ بحرانیآیا میدان بدون انتقال توان عمودی وجود دارد؟بردار موج طولی مختلط
لایهآیا افزودن ماده بازتاب را کاهش می‌دهد؟تداخل همدوس و مرجع فاز
ورقهآیا فاز جذب را تغییر می‌دهد؟جریان سطحی، کانال پراکندگی و همدوسی

کنار هر محاسبه، نوع تحریک، مدل ماده، پایهٔ میدان، قرارداد زمانی، صفحات مرجع و مخرج تعریف توان را ثبت کنید. این اطلاعات پایهٔ کتابخانهٔ سلول واحد، بازده پراش و پاسخ‌های یادگرفته‌شده در فصل‌های بعدی‌اند.

۲.۲ به موج جهت بدهیم

میدان فیزیکی حقیقی را از فازور مختلط به دست می‌آوریم:

E(r,t)=Re⁡{E~(r)e−iωt},E~(r)=E0eik⋅r.\mathbf E(\mathbf r,t)=\operatorname{Re}\{\widetilde{\mathbf E}(\mathbf r)e^{-i\omega t}\},\qquad \widetilde{\mathbf E}(\mathbf r)=\mathbf E_0e^{i\mathbf k\cdot\mathbf r}.
(1)

پس kzk_z حقیقی و مثبت در eikzz−iωte^{ik_z z-i\omega t}، انتشار در جهت مثبت zz را نشان می‌دهد: در فاز ثابت، kzz−ωtk_z z-\omega t ثابت می‌ماند. اگر kz=iκk_z=i\kappa و κ>0\kappa>0 باشد، عامل فضایی e−κze^{-\kappa z} است و میدان در نیم‌فضای مثبت zz کاهش می‌یابد. انتخاب ریشهٔ مخالف، میدان را دور از مرز غیرفعال رشد می‌دهد و با این مسئله سازگار نیست.

معادلات ماکسول در ناحیهٔ همگن و بدون منبع چنین‌اند:

∇×E~=iωμH~,∇×H~=−iωεE~,∇⋅D~=0,∇⋅B~=0.\nabla\times\widetilde{\mathbf E}=i\omega\mu\widetilde{\mathbf H},\qquad \nabla\times\widetilde{\mathbf H}=-i\omega\varepsilon\widetilde{\mathbf E},\qquad \nabla\cdot\widetilde{\mathbf D}=0,\qquad\nabla\cdot\widetilde{\mathbf B}=0.
(2)

با جای‌گذاری موج تخت داریم:

k×E0=ωμH0,k⋅E0=0,k2=ω2με.\mathbf k\times\mathbf E_0=\omega\mu\mathbf H_0,\qquad \mathbf k\cdot\mathbf E_0=0,\qquad k^2=\omega^2\mu\varepsilon.
(3)

برای بردار موج مختلط، رابطهٔ پاشندگی شامل k⋅k\mathbf k\cdot\mathbf k است، نه k∗⋅k\mathbf k^*\cdot\mathbf k. این تفاوت برای موج اوانسنت ضروری است.

برای موج منتشرشونده در محیط غیرمغناطیسی با ضریب شکست حقیقی:

k=nk0,k0=2πλ0,η=με=η0n,H0=1ηk^×E0.k=nk_0,\quad k_0=\frac{2\pi}{\lambda_0},\quad \eta=\sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}}=\frac{\eta_0}{n},\quad \mathbf H_0=\frac{1}{\eta}\widehat{\mathbf k}\times\mathbf E_0.
(4)

میدان مغناطیسی با میدان الکتریکی و جهت انتشار تعیین می‌شود و علامت مستقلی ندارد. معکوس کردن جهت انتشار، رابطهٔ علامت‌دار میدان الکتریکی و مغناطیسی را معکوس می‌کند؛ همین نکته منشأ جملهٔ 1−r1-r در استخراج پاسخ مرز است.

۲.۳ میدان، توان‌سنج نیست

اگر فازورها دامنهٔ قله باشند، چگالی شار توان میانگین زمانی برابر است با

⟨S⟩=12Re⁡{E~×H~ ∗}.\langle\mathbf S\rangle=\frac12\operatorname{Re}\{\widetilde{\mathbf E}\times\widetilde{\mathbf H}^{\,*}\}.
(5)

ضریب 1/21/2 به قرارداد دامنهٔ قله مربوط است. برای موج منتشرشونده با تابش عمودی در محیط حقیقی:

⟨Sz⟩=∣E∣22η=n∣E∣22η0.\langle S_z\rangle=\frac{|E|^2}{2\eta}=\frac{n|E|^2}{2\eta_0}.
(6)

بنابراین یک دامنهٔ الکتریکی در دو محیط متفاوت وزن توانی یکسان ندارد. دامنهٔ عبوری ۱٫۲ در هوا می‌تواند توانی کمتر از دامنهٔ فرودی ۱ در شیشه حمل کند. در تابش مایل، شار عمودی و مؤلفهٔ میدان انتخاب‌شده عوامل دیگری اضافه می‌کنند؛ آن‌ها را در ادمیتانس موج جمع می‌کنیم.

توان تنها مشاهده‌پذیر نیست. میدان‌های t=1t=1 و t=−1t=-1 در یک بهنجارسازی، توان عبوری یکسانی دارند؛ اما با یک مرجع ثابت به شکل متفاوتی تداخل می‌کنند. در طراحی جبهه‌موج مختلط، دامنه و فاز را هم‌زمان نگه دارید.

۲.۴ قطبش را ببینیم

در یک نقطهٔ ثابت، نوک میدان الکتریکی عرضی طی یک دوره می‌تواند خط، بیضی یا دایره رسم کند. بردار جونز با نرم واحد برای انتشار در راستای مثبت zz را بنویسید:

j=[cos⁡αeiδsin⁡α],j†j=1.\mathbf j=\begin{bmatrix}\cos\alpha\\e^{i\delta}\sin\alpha\end{bmatrix},\qquad \mathbf j^\dagger\mathbf j=1.
(7)

در اینجا α\alpha اندازهٔ مؤلفه‌ها و δ\delta فاز نسبی EyE_y نسبت به ExE_x را کنترل می‌کند. در z=0z=0:

Ex(t)=cos⁡αcos⁡ωt,Ey(t)=sin⁡αcos⁡(δ−ωt).E_x(t)=\cos\alpha\cos\omega t,\qquad E_y(t)=\sin\alpha\cos(\delta-\omega t).
(8)

برای δ=0\delta=0، بردار روی یک خط می‌ماند. برای α=45∘\alpha=45^\circ و δ=90∘\delta=90^\circ، حالت بهنجارشده (1,i)T/2(1,i)^T/\sqrt2 است: با افزایش زمان، نوک میدان از جهت مثبت ExE_x به‌سوی جهت مثبت EyE_y حرکت می‌کند. این توصیف، محورها و قرارداد زمانی را روشن می‌کند و به نام‌گذاری مبهم راست‌گرد یا چپ‌گرد وابسته نیست.

مسیرهای زمانی قطبش و پاسخ تحلیل‌گر که از بردارهای جونز همدوس محاسبه شده‌اند.

فاز نسبی مسیر میدان را تغییر می‌دهد، حتی وقتی نرم بردار جونز ثابت است. پیش از نام‌گذاری جهت چرخش، قرارداد زمانی و جهت مشاهده را بیان کنید. در نمودار، Linear خطی، Elliptical بیضوی، Circular دایروی و Analyzer تحلیل‌گر است.

یک تأخیرانداز ایده‌آل هم‌راستا با محورها می‌تواند چنین باشد:

Jδ=[100eiδ],Jδ†Jδ=I.J_\delta=\begin{bmatrix}1&0\\0&e^{i\delta}\end{bmatrix},\qquad J_\delta^\dagger J_\delta=I.
(9)

این مدل فاز نسبی را تغییر می‌دهد و توان را حفظ می‌کند. تحلیل‌گری با محور واحد حقیقی uβ=(cos⁡β,sin⁡β)T\mathbf u_\beta=(\cos\beta,\sin\beta)^T کسر زیر را عبور می‌دهد:

Iβ=∣uβ†j∣2.I_\beta=|\mathbf u_\beta^\dagger\mathbf j|^2.
(10)

برای ورودی خطی، قانون مالوس حاصل می‌شود؛ برای حالت دایروی بهنجارشده، پاسخ در هر زاویهٔ تحلیل‌گر 1/21/2 است. این مدل‌ها همدوس و کاملاً قطبیده‌اند. یک بردار جونز، نور غیرقطبیده یا با همدوسی جزئی را توصیف نمی‌کند. تبدیل‌های ایده‌آل جونز در فصل ۵ توسعه می‌یابند؛ یک قطعهٔ واقعی همچنان به داده‌های تبدیل و نشتی نیاز دارد.

۲.۵ چه چیزی پیوسته است؟

مرز را در z=0z=0 قرار دهید و بردار عمود واحد n^=z^\widehat{\mathbf n}=\widehat{\mathbf z} را از ناحیهٔ ۱ به ۲ بگیرید. انتگرال‌گیری معادلات کرل روی حلقه‌ای بی‌نهایت کوچک، شرایط پرش مماسی را می‌دهد:

n^×(H2−H1)=Js,n^×(E2−E1)=−Ms.\widehat{\mathbf n}\times(\mathbf H_2-\mathbf H_1)=\mathbf J_s,\qquad \widehat{\mathbf n}\times(\mathbf E_2-\mathbf E_1)=-\mathbf M_s.
(11)

Js\mathbf J_s چگالی جریان الکتریکی سطحی با واحد A/m است. Ms\mathbf M_s در این قرارداد، چگالی جریان مغناطیسی سطحی معادل با واحد V/m است: توصیفی مفید بر پایهٔ هم‌ارزی میدان که به وجود تک‌قطبی مغناطیسی واقعی نیاز ندارد. در نبود هر دو جریان سطحی، میدان‌های الکتریکی و مغناطیسی مماسی پیوسته‌اند. مؤلفه‌های عمودی از قوانین شار متناظر پیروی می‌کنند؛ پیوستگی مماسی به معنی پیوستگی تمام مؤلفه‌های دکارتی نیست.

جهت عمود مرز، پرش میدان‌های مماسی، صفحات مرجع لایه و ورقه و بهنجارسازی توان.

شرایط مرزی، تغییر میدان را به جریان لازم برای آن پیوند می‌دهند. شنت الکتریکی موضعی این فصل یک نمونهٔ محدود است؛ سنتز تانسوری، مغناطیسی و دوآنیزوتروپ به روابط بیشتری نیاز دارد.

رابطهٔ مرزی در تمام نقاط xx یکسان است؛ پس میدان‌های فرودی، بازتابی و عبوری باید عامل فاز مماسی یکسانی داشته باشند:

kx=nik0sin⁡θi=ntk0sin⁡θt.k_x=n_i k_0\sin\theta_i=n_t k_0\sin\theta_t.
(12)

این همان تطبیق فاز و، برای عبور منتشرشونده، قانون اسنل است. سطح تناوبی می‌تواند بردارهای شبکهٔ متقابل را اضافه کند؛ فصل ۴ این موضوع را شرح می‌دهد. بنابراین پروفایل فاز مطلوب، مشخصات پراکندگی است و جای شرایط مرزی ماکسول را نمی‌گیرد.

۲.۶ پاسخ مرز را استخراج کنیم

صفحهٔ تابش را xzxz بگیرید. در TE میدان الکتریکی در راستای yy است. در TM میدان مغناطیسی در راستای yy و میدان الکتریکی در صفحهٔ xzxz قرار دارد. در تمام موج‌ها همان مؤلفهٔ الکتریکی مماسی را مقایسه می‌کنیم: EyE_y برای TE و ExE_x برای TM. تعریف کنید:

s=nisin⁡θi,qj=kz,jk0=nj2−s2,s=n_i\sin\theta_i,\qquad q_j=\frac{k_{z,j}}{k_0}=\sqrt{n_j^2-s^2},
(13)

ریشهٔ خروجی یا میرا را انتخاب می‌کنیم که برای نیم‌فضاهای بی‌اتلاف با ضریب شکست مثبت، بخش حقیقی و موهومی نامنفی دارد. ادمیتانس بی‌بُعد موج مماسی ما برابر است با

YjTE=qj,YjTM=nj2qj.Y_j^{\mathrm{TE}}=q_j,\qquad Y_j^{\mathrm{TM}}=\frac{n_j^2}{q_j}.
(14)

ادمیتانس فیزیکی Yj/η0Y_j/\eta_0 است. برای روشن شدن علامت‌ها، مؤلفهٔ مغناطیسی علامت‌دار را h=−Hxh=-H_x در TE و h=Hyh=H_y در TM بگیرید. برای موج رو به جلو h=YEtan/η0h=YE_{\mathrm{tan}}/\eta_0 و برای موج رو به عقب علامت رابطه معکوس است. با دامنهٔ الکتریکی مماسی فرودی واحد، پیوستگی می‌دهد:

1+r=t,Yi(1−r)=Ytt.1+r=t,\qquad Y_i(1-r)=Y_t t.
(15)

حل این دو معادله، ضرایب فرنل را در پایهٔ انتخابی ما به دست می‌دهد:

r=Yi−YtYi+Yt,t=2YiYi+Yt.\boxed{r=\frac{Y_i-Y_t}{Y_i+Y_t}},\qquad \boxed{t=\frac{2Y_i}{Y_i+Y_t}}.
(16)

در کانال فرودی منتشرشونده، YiY_i حقیقی و مثبت است. کسرهای توان عمودی عبارت‌اند از

R=∣r∣2,T=Re⁡YtYi∣t∣2.R=|r|^2,\qquad T=\frac{\operatorname{Re}Y_t}{Y_i}|t|^2.
(17)

برای تک‌مرز بی‌اتلاف R+T=1R+T=1. در تابش عمودی هر دو قطبش Yj=njY_j=n_j دارند: برای هوا به شیشه، r=−0.2r=-0.2، t=0.8t=0.8، R=0.04R=0.04 و T=0.96T=0.96.

بردار موج فرودی، بازتابی و عبوری؛ جهت عمود مرز؛ و قرارداد مؤلفه‌های مماسی TE و TM.

هندسه، پایهٔ قطبش و صفحهٔ مرجع بخشی از تعریف ضریب پراکندگی‌اند. توان عمودی مثبت از مرز به نیم‌فضای عبوری می‌رود.

۲.۷ بروستر، موج اوانسنت و آستانهٔ قطع

در دی‌الکتریک‌های غیرمغناطیسی، تطبیق دو ادمیتانس TM بازتاب TM را صفر می‌کند. با جای‌گذاری قانون اسنل:

tan⁡θB=ntni.\tan\theta_B=\frac{n_t}{n_i}.
(18)

برای هوا به شیشه θB≈56.31∘\theta_B\approx56.31^\circ است، ولی موج TE در همین زاویه همچنان بازتاب دارد. حذف بازتاب بروستر به قطبش وابسته است و مرز را برای هر موجی بی‌بازتاب نمی‌کند.

کسرهای توان عمودی بازتابی و عبوری TE و TM برحسب زاویه، شامل زاویهٔ بروستر و بحرانی.

ضرایب میدان را از توان عمودی جدا نگه دارید. همان روابط ادمیتانس، شکست معمولی، صفر بازتاب TM و بازتاب کلی داخلی را در دامنهٔ اعتبار خود پوشش می‌دهند. Reflected بازتابی، Transmitted عبوری و Incidence angle زاویهٔ تابش است.

اگر ni>ntn_i>n_t باشد، sin⁡θc=nt/ni\sin\theta_c=n_t/n_i. برای شیشه به هوا θc≈41.81∘\theta_c\approx41.81^\circ است. بالاتر از آن:

qt=iγ,γ=s2−nt2>0,E~t∝eikxxe−k0γz.q_t=i\gamma,\qquad\gamma=\sqrt{s^2-n_t^2}>0,\qquad \widetilde E_t\propto e^{ik_xx}e^{-k_0\gamma z}.
(19)

میدان عبوری می‌تواند ناصفر باشد، اما Re⁡Yt=0\operatorname{Re}Y_t=0، پس T=0T=0 و R=1R=1. طول افت دامنه ℓE=1/(k0γ)\ell_E=1/(k_0\gamma) و طول افت شدت نصف آن است. از T=0T=0 نمی‌توان ناپدید شدن تمام میدان عبوری را نتیجه گرفت؛ دامنهٔ اوانسنت ناصفر نیز به معنی وجود کانال خروجی توان عمودی نیست.

میدان تحلیلی بازتاب کلی داخلی و افت نمایی میدان اوانسنت در محیط دوم.

میدان وارد محیط دوم می‌شود، ولی برای این تک‌مرز بی‌اتلاف با نیم‌فضای نامحدود، شار توان عمودی خالص عبوری صفر است. مرز نزدیک دیگری مسئلهٔ تونل‌زنی متفاوتی می‌سازد. Snapshot نمای لحظه‌ای و Decay افت میدان است.

در آستانهٔ دقیق قطع، فرمول‌های دارای 1/qt1/q_t به حدگیری نیاز دارند. در TM، ضریب tt برای ExE_x مماسی به صفر میل می‌کند؛ اما ضریب ارتباط EzE_z و ExE_x ممکن است واگرا شود و کل میدان عبوری لزوماً صفر نیست. از دو سوی آستانه نزدیک شوید و خود آستانه را جداگانه گزارش کنید؛ ادمیتانس میانی تکین را کانال منتشرشوندهٔ متناهی فرض نکنید.

۲.۸ لایه اضافه کنیم و فاز را نگه داریم

آیا افزودن ماده می‌تواند بازتاب را کم کند؟ لایهٔ بی‌اتلافی با ضریب شکست nfn_f و ضخامت dd را در تابش عمودی بین n0n_0 و n2n_2 قرار دهید. از ضرایب تک‌مرز rab=(na−nb)/(na+nb)r_{ab}=(n_a-n_b)/(n_a+n_b) و tab=2na/(na+nb)t_{ab}=2n_a/(n_a+n_b) استفاده و تعریف کنید:

δ=k0nfd=2πnfdλ0.\delta=k_0n_fd=\frac{2\pi n_fd}{\lambda_0}.
(20)

هر رفت‌وبرگشت عامل فاز همدوس e2iδe^{2i\delta} دارد. جمع سری هندسی یا حل چهار معادلهٔ مرزی می‌دهد:

rfilm=r0f+rf2e2iδ1+r0frf2e2iδ,tfilm=t0ftf2eiδ1+r0frf2e2iδ.r_{\mathrm{film}}=\frac{r_{0f}+r_{f2}e^{2i\delta}}{1+r_{0f}r_{f2}e^{2i\delta}},\qquad t_{\mathrm{film}}=\frac{t_{0f}t_{f2}e^{i\delta}}{1+r_{0f}r_{f2}e^{2i\delta}}.
(21)

مرجع موج فرودی در ورودی z=0z=0 و دامنهٔ عبوری در خروجی z=dz=d تعریف می‌شود. کسرها R=∣rfilm∣2R=|r_{\mathrm{film}}|^2 و T=(n2/n0)∣tfilm∣2T=(n_2/n_0)|t_{\mathrm{film}}|^2 هستند.

برای طول موج طراحی λd\lambda_d، انتخاب کنید nf=n0n2n_f=\sqrt{n_0n_2} و d=λd/(4nf)d=\lambda_d/(4n_f). آنگاه δ=π/2\delta=\pi/2 و سهم‌های بازتابی یکدیگر را خنثی می‌کنند و R=0R=0. این سازوکار تداخل در شرایط مشخص است؛ نه حذف فیزیکی مرزها یا جذب باریکهٔ بازتابی.

پاسخ تحلیلی لایهٔ نازک همدوس در اطراف شرط ضدبازتاب ربع‌موج، برحسب طول موج.

مدل دقیق تحلیلی با تابش عمودی و ضریب شکست ثابت. ضدبازتاب کامل در نقطهٔ طراحی، عملکرد پهن‌باند مادهٔ واقعی را اثبات نمی‌کند. Bare interface مرز بدون پوشش، Quarter-wave film لایهٔ ربع‌موج و Vacuum wavelength طول موج خلأ است.

جابجایی صفحهٔ مرجع حتی در محیط یکنواخت فاز را عوض می‌کند. اگر فقط صفحهٔ خروجی به اندازهٔ ℓ\ell جلو برود، tnew=t eikzℓt_{\mathrm{new}}=t\,e^{ik_z\ell}. این نکته در مقایسهٔ ورقهٔ بی‌ضخامت، ریج با ارتفاع متناهی، پارامترهای S اندازه‌گیری‌شده و داده‌های آموزش اهمیت دارد.

۲.۹ ماتریس پراکندگی را بهنجار کنیم

برای درگاه‌های منتشرشونده با ادمیتانس حقیقی مثبت، میدان ورودی و خروجی هر درگاه را در Yj/(2η0)\sqrt{Y_j/(2\eta_0)} ضرب کنید. مربع اندازهٔ دامنهٔ حاصل، شار توان عمودی است:

b=Sa,Pin=a†a,Pout=b†b.\mathbf b=S\mathbf a,\qquad P_{\mathrm{in}}=\mathbf a^\dagger\mathbf a,\qquad P_{\mathrm{out}}=\mathbf b^\dagger\mathbf b.
(22)

توصیف کامل پراکندگی برای ساختار بی‌اتلاف باید S†S=IS^\dagger S=I داشته باشد. در ساختار غیرفعال باید برای هر ورودی a†(I−S†S)a≥0\mathbf a^\dagger(I-S^\dagger S)\mathbf a\geq0 برقرار باشد. تقابل و تقارن آینه‌ای دو ویژگی مستقل‌اند؛ زیرلایه می‌تواند دومی را بدون نقض اولی بشکند.

برای مرز ساده میان دو کانال منتشرشونده:

S=[rττ−r],τ=2YiYtYi+Yt.S=\begin{bmatrix}r&\tau\\\tau&-r\end{bmatrix},\qquad \tau=\frac{2\sqrt{Y_iY_t}}{Y_i+Y_t}.
(23)

علامت‌های مخالف بازتاب از پایهٔ میدان و آرایش درگاه‌ها ناشی می‌شوند. این SS متقارن و یکانی است. ضرایب خام عبور الکتریکی از دو طرف لزوماً برابر نیستند؛ اما همتای بهنجارشدهٔ توانی آن‌ها اینجا برابر است. پاسخ اوانسنت با شار عمودی صفر را نمی‌توان با تقسیم بر Re⁡Y\sqrt{\operatorname{Re}Y} به درگاه منتشرشوندهٔ مستقل با توان واحد تبدیل کرد.

۲.۱۰ به ورقه جریان بدهیم

سطحی ایده‌آل، موضعی و صرفاً الکتریکی را در تابش عمودی در نظر بگیرید. ادمیتانس ورقه YsY_s برحسب زیمنس و کمیت بی‌بُعد g=η0Ysg=\eta_0Y_s است. چون جریان سطحی مغناطیسی نداریم، پیوستگی الکتریکی همچنان t=1+rt=1+r می‌دهد. شرط پرش، جریان شنت را اضافه می‌کند:

Yi(1−r)−Ytt=g t.Y_i(1-r)-Y_t t=g\,t.
(24)

با حل آن:

r=Yi−Yt−gYi+Yt+g,t=2YiYi+Yt+g,A=4YiRe⁡g∣Yi+Yt+g∣2.r=\frac{Y_i-Y_t-g}{Y_i+Y_t+g},\qquad t=\frac{2Y_i}{Y_i+Y_t+g},\qquad A=\frac{4Y_i\operatorname{Re}g}{|Y_i+Y_t+g|^2}.
(25)

در تابش عمودی Yi=niY_i=n_i و Yt=ntY_t=n_t. برای Re⁡g≥0\operatorname{Re}g\geq0، ورقه غیرفعال است و R+T+A=1R+T+A=1. توان جذب‌شده مستقیماً از 12Re⁡Ys∣Esheet∣2\tfrac12\operatorname{Re}Y_s|E_{\mathrm{sheet}}|^2 به دست می‌آید؛ نه از نسبت دادن دلخواه توان گم‌شده به جذب.

در زبان مدار معادل، محیط‌های موج درگاه خط انتقال و YsY_s شنت محل اتصال‌اند. با قرارداد e−iωte^{-i\omega t}، خازن سطحی دارای Ys=−iωCsY_s=-i\omega C_s و سلف دارای Ys=+i/(ωLs)Y_s=+i/(\omega L_s) است. رسانایی مثبت توان تلف می‌کند. قرارداد مهندسی e+iωte^{+i\omega t} علامت‌های راکتیو را معکوس می‌کند.

برای دو درگاه هوای یکسان و g=G≥0g=G\geq0 حقیقی:

A=4G(2+G)2≤12,A=\frac{4G}{(2+G)^2}\leq\frac12,
(26)

برابری در G=2G=2 رخ می‌دهد. رسانایی بزرگ‌تر سرانجام بازتاب را بیشتر می‌کند، نه جذب را. حد ۵۰ درصد به همین مدل ورقهٔ صرفاً الکتریکی، محیط‌های یکسان و تابش یک‌طرفه تعلق دارد. پشت‌بند، پاسخ مغناطیسی، محیط یا روشن‌سازی متفاوت، مسئله را تغییر می‌دهد.

۲.۱۱ فقط کمیت قابل‌شناسایی را بازیابی کنیم

برای شنت الکتریکی در هوای یکسان و صفحهٔ مشترک ورقه:

g=2(1−t)t.g=\frac{2(1-t)}{t}.
(27)

پیش از استفاده، رابطهٔ مختلط t=1+rt=1+r، صفحات مرجع، امپدانس محیط‌ها و فرض‌های مدل را بررسی کنید. نزدیک t=0t=0، خطای کوچک عبور خطای بزرگ پارامتر ایجاد می‌کند؛ در t=0t=0 وارون‌سازی تعریف نشده است. مدل غیرفعال باید محدودیت‌های انرژی مناسب را نیز برآورده کند.

لایهٔ متناهی یا ریج نقش‌دار دلخواه، خودبه‌خود این شرایط را ندارد. به‌ویژه صفحهٔ ورودی و خروجی لایه دو صفحهٔ متفاوت‌اند. حذف اثر مسیر انتشار یا Deembedding فاز معلوم را حذف می‌کند؛ اما موضعی و صرفاً الکتریکی بودن پاسخ باقی‌مانده را اثبات نمی‌کند. برازش در یک فرکانس، اعتبار مدل را برای طول موج، زاویه، قطبش یا هندسهٔ بررسی‌نشده ثابت نمی‌کند.

مدل فصل ۱ دو کانال مؤثر پاسخ داشت. ساختار متوازنِ الکتریکی‌مانند و مغناطیسی‌مانند آن از شنت صرفاً الکتریکی غنی‌تر است: شنت t=1+rt=1+r را تحمیل می‌کند و نمی‌تواند دامنه و فاز عبوری دلخواه را مستقل تعیین کند. بازیابی تانسور پذیرفتاری و سنتز دوآنیزوتروپ، مجهولات، تحریک‌ها و کنترل‌های بیشتری می‌خواهند.

۲.۱۲ نور گم‌شده کجا رفت؟

به ورقهٔ هوامحاط با g=2g=2 برگردید. یک باریکه r=−1/2r=-1/2، t=1/2t=1/2 و A=1/2A=1/2 می‌دهد. اکنون از دو طرف همدوس بتابانید، با توان ورودی کل واحد:

a=12[1eiϕ],S=12[−111−1].\mathbf a=\frac{1}{\sqrt2}\begin{bmatrix}1\\e^{i\phi}\end{bmatrix},\qquad S=\frac12\begin{bmatrix}-1&1\\1&-1\end{bmatrix}.
(28)

ابتدا سهم‌های میدان خروجی را جمع کنید و سپس توان را محاسبه کنید:

Atwo sided=1−∥Sa∥2=1+cos⁡ϕ2.A_{\mathrm{two\ sided}}=1-\|S\mathbf a\|^2=\frac{1+\cos\phi}{2}.
(29)

در ϕ=0\phi=0، تمام دامنه‌های خروجی صفر می‌شوند و مدل ایده‌آل کل توان را جذب می‌کند. در ϕ=π\phi=\pi میدان الکتریکی روی ورقه گره دارد و جذب صفر است. پارامتر ماده عوض نشده؛ حالت همدوس فرودی و در نتیجه هم‌پوشانی آن با کانال اتلافی پراکندگی تغییر کرده است.

مقایسهٔ حد جذب یک‌طرفهٔ ورقه و جذب همدوس دوطرفه که با فاز ورودی کنترل می‌شود.

دو آزمایش، حالت ورودی متفاوت و بهنجارسازی توان کل مشخص دارند. جذب کامل دوطرفه در اینجا به پارامتر دقیق و تحریک همدوس در صفحات مرجع گفته‌شده نیاز دارد؛ نتیجهٔ قطعهٔ ساخته‌شده نیست. One-sided یک‌طرفه و Two coherent incident beams دو باریکهٔ فرودی همدوس است.

این نمونه مقدمه‌ای بر جذب کامل همدوس است؛ زمینهٔ پژوهشی آن را در مقالهٔ Chong، Ge، Cao و Stone ببینید. استخراج شنت ما یک مثال تحلیلی محدود است و محاسبهٔ لایهٔ آن مقاله را بازتولید نمی‌کند. آزمایش علاوه بر این‌ها به کنترل فاز، تطبیق مد فضایی، کالیبراسیون توان، اتلاف و پاشندگی ماده و برآورد عدم‌قطعیت نیاز دارد.

۲.۱۳ چه چیزی را به فصل‌های بعد ببریم؟

پیش از پذیرفتن هر پاسخ فراسطح بپرسید:

  1. پایهٔ میدان، قرارداد زمانی و صفحات مرجع ضرایب مختلط چیست؟

  2. کدام ادمیتانس یا بهنجارسازی کانال، ضریب را به توان تبدیل می‌کند؟

  3. کدام موج منتشرشونده، کدام میرا و کدام در آستانهٔ قطع است؟

  4. چه جریان مرزی یا هندسه‌ای تغییر خواسته‌شده را پشتیبانی می‌کند؟

  5. آیا مدل برای هر روشن‌سازی مرتبط، توان را به شکل درست حفظ یا تلف می‌کند؟

  6. کدام شرط مستقل می‌تواند ادعای بازیابی یا طراحی را بیازماید؟

برای ادامه، این فصل‌ها را در ویرایش فارسی بخوانید: ۳: هندسه و کتابخانهٔ تمام‌موج، ۴: کانال‌های پراش، ۵: سنتز تبدیل‌ها و ۱۰: هوش مصنوعی. داده‌های فصل ۱۰ باید همین قراردادها را حفظ کنند. اکنون به نه مثال حل‌شده، آزمایشگاه و خودآزمایی و پروژه بروید.

برای مسیر پایهٔ مستقل، جزوه‌های Cornell ECE 3030 موج تخت، قطبش، مرز و چندلایه‌ها را پوشش می‌دهند؛ یادداشت‌های اپتیک MIT مکمل‌اند. توضیح‌ها، استخراج‌ها، شکل‌ها و آزمایش‌های این فصل محتوای اصیل دوره‌اند. برچسب‌های عددی پنج نمودار محاسباتی عمداً با خروجی مشترک انگلیسی یکسان مانده‌اند؛ راهنمای فارسی هر شکل و واژه‌نامه معنای آن‌ها را مشخص می‌کند.

بررسی‌های محاسباتی مرتبط

با ms-09: پهنای باند طیفی، ms-10: سلول مستقل و ابرسلول و ms-11: بهینه‌سازی کران‌دار با کنترل مستقل ادامه دهید. این بررسی‌های اجراشده از همان هندسهٔ مشخص تیغه‌ای استفاده و پاسخ طیفی، تقریب مدل و اعتبارسنجی طرح را به هم وصل می‌کنند. طراحی معکوس، مرجع تمام‌موج مستقیم برای مقایسهٔ بعدی هوش مصنوعی است.

فصل ۱ — مبانی فراسطوح
دفترچهٔ فصل ۱: نخستین مدل فراسطح
فصل ۲ — موج، مرز و ورقه
مثال‌های حل‌شدهٔ موج