Skip to article frontmatterSkip to article content
Site not loading correctly?

This may be due to an incorrect BASE_URL configuration. See the MyST Documentation for reference.

فصل ۲: نه مثال حل‌شده

پرسش: کدام محاسبهٔ ساده، علامت نادرست، بهنجارسازی غلط یا برداشت فیزیکی بی‌پشتوانه را آشکار می‌کند؟

این مثال‌ها مکمل فصل، آزمایشگاه مرورگری و دفترچه و خودآزمایی هستند. قرارداد زمانی e−iωte^{-i\omega t}، فضایی eik⋅re^{i\mathbf k\cdot\mathbf r}، دامنهٔ قلهٔ الکتریکی و ضریب شکست حجمی حقیقی، مثبت و غیرمغناطیسی است. پیش از خواندن حل، علامت یا رفتار حدی را پیش‌بینی کنید.

۱. علامت میدان مغناطیسی را پیدا کنید

موج تخت در هوا در جهت مثبت zz منتشر می‌شود و فازور الکتریکی آن E~=E0y^eik0z\widetilde{\mathbf E}=E_0\widehat{\mathbf y}e^{ik_0z} است. از ماکسول:

H~=1η0z^×E~=−E0η0x^eik0z.\widetilde{\mathbf H}=\frac{1}{\eta_0}\widehat{\mathbf z}\times\widetilde{\mathbf E} =-\frac{E_0}{\eta_0}\widehat{\mathbf x}e^{ik_0z}.
(1)

پس E×H∗\mathbf E\times\mathbf H^* در جهت مثبت zz است. اگر بردار موج را برعکس کنید و قطبش الکتریکی را در همان راستای yy نگه دارید، میدان مغناطیسی معکوس و شار توان منفی می‌شود.

کنترل: یک علامت یکسان برای رابطهٔ الکتریکی‌ـ‌مغناطیسی در هر دو جهت انتشار، معادلهٔ مرزی را خراب می‌کند. منشأ فیزیکی Yi(1−r)Y_i(1-r) به‌جای Yi(1+r)Y_i(1+r) همین است.

۲. آیا مرز غیرفعال می‌تواند عبور ۱٫۲ بدهد؟

در تابش عمودی از شیشه (ni=1.5)(n_i=1.5) به هوا (nt=1)(n_t=1):

r=1.5−11.5+1=0.2,t=2(1.5)1.5+1=1.2.r=\frac{1.5-1}{1.5+1}=0.2,\qquad t=\frac{2(1.5)}{1.5+1}=1.2.
(2)

توان‌ها برابرند با

R=0.04,T=11.5(1.2)2=0.96.R=0.04,\qquad T=\frac{1}{1.5}(1.2)^2=0.96.
(3)

بهره‌ای وجود ندارد؛ وزن توانی میدان الکتریکی در دو محیط متفاوت است. در جهت معکوس r=−0.2r=-0.2 و t=0.8t=0.8، ولی توان عبوری همچنان ۰٫۹۶ است. دامنهٔ عبور بهنجارشدهٔ توانی در هر دو جهت τ=0.96≈0.97980\tau=\sqrt{0.96}\approx0.97980 است.

نکتهٔ ماندگار: ضریب میدان و پارامتر S بهنجارشدهٔ توانی می‌توانند عدد متفاوتی باشند و از نظر فیزیکی سازگار بمانند.

۳. فقط یک قطبش را بی‌بازتاب کنید

برای هوا به شیشه:

θB=arctan⁡(1.5)≈56.3099∘.\theta_B=\arctan(1.5)\approx56.3099^\circ.
(4)

در این زاویه cos⁡θi=2/13\cos\theta_i=2/\sqrt{13} و cos⁡θt=3/13\cos\theta_t=3/\sqrt{13}. ادمیتانس‌های TM برابر می‌شوند:

YiTM=1cos⁡θi=132,YtTM=1.5cos⁡θt=132.Y_i^{\mathrm{TM}}=\frac{1}{\cos\theta_i}=\frac{\sqrt{13}}2, \qquad Y_t^{\mathrm{TM}}=\frac{1.5}{\cos\theta_t}=\frac{\sqrt{13}}2.
(5)

پس rTM=0r_{\mathrm{TM}}=0. برای TE:

rTE=−513,RTE=25169≈0.14793.r_{\mathrm{TE}}=-\frac5{13},\qquad R_{\mathrm{TE}}=\frac{25}{169}\approx0.14793.
(6)

از پایهٔ مشترک الکتریکی مماسی استفاده کردیم. ضریب مرسوم روی بردار یکهٔ pp بازتابی ممکن است علامت مخالف ضریب TM ما داشته باشد؛ صفر و توان آن یکسان‌اند. تطبیق بروستر به قطبش وابسته است و مرز را برای همهٔ موج‌ها بی‌بازتاب نمی‌کند.

۴. میدانی آن سوی بازتاب کلی

شیشه به هوا با θi=45∘\theta_i=45^\circ و λ0=0.6 μm\lambda_0=0.6\,\mu\mathrm m را بگیرید. زاویهٔ بحرانی arcsin⁡(1/1.5)≈41.8103∘\arcsin(1/1.5)\approx41.8103^\circ است؛ پس عبور اوانسنت است. داریم:

qi=38,qt=i8.q_i=\frac3{\sqrt8},\qquad q_t=\frac{i}{\sqrt8}.
(7)

برای TE:

r=3−i3+i=0.8−0.6i,t=1+r=1.8−0.6i.r=\frac{3-i}{3+i}=0.8-0.6i,\qquad t=1+r=1.8-0.6i.
(8)

دامنهٔ عبوری ناصفر است، اما چون Re⁡Yt=0\operatorname{Re}Y_t=0، توان T=0T=0 و R=∣r∣2=1R=|r|^2=1 است. طول افت دامنه:

ℓE=1k0/8=8λ02π≈0.2701 μm.\ell_E=\frac{1}{k_0/\sqrt8}=\frac{\sqrt8\lambda_0}{2\pi}\approx0.2701\,\mu\mathrm m.
(9)

در z=ℓEz=\ell_E دامنه به ضریب e−1e^{-1} و شدت به e−2e^{-2} کاهش می‌یابد. در این مسئلهٔ نیم‌فضای بی‌اتلاف، باریکهٔ عبوری دوردست نداریم. افزودن مرزی در محدودهٔ افت میدان، آزمایش دیگری تعریف می‌کند.

۵. خط را به دایره تبدیل کنید

از jin=(1,1)T/2\mathbf j_{\mathrm{in}}=(1,1)^T/\sqrt2 آغاز و تأخیرانداز ایده‌آل J=diag⁡(1,i)J=\operatorname{diag}(1,i) را اعمال کنید:

jout=12[1i].\mathbf j_{\mathrm{out}}=\frac1{\sqrt2}\begin{bmatrix}1\\i\end{bmatrix}.
(10)

در z=0z=0 میدان فیزیکی Ex=cos⁡ωt/2E_x=\cos\omega t/\sqrt2 و Ey=sin⁡ωt/2E_y=\sin\omega t/\sqrt2 است. نوک آن از ExE_x مثبت به‌سوی EyE_y مثبت حرکت می‌کند. چون J†J=IJ^\dagger J=I، نرم واحد می‌ماند.

برای تحلیل‌گر خطی در هر زاویهٔ β\beta:

Iβ=12∣cos⁡β+isin⁡β∣2=12.I_\beta=\frac12|\cos\beta+i\sin\beta|^2=\frac12.
(11)

پس با وجود چرخش میدان، شدت عبوری برای تمام زاویه‌های تحلیل‌گر یکسان است. فاز کلی مشترک دو مؤلفهٔ جونز، بیضی قطبش یا شدت تحلیل‌گر را تغییر نمی‌دهد؛ فاز نسبی می‌تواند بیضی را تغییر دهد.

۶. با افزودن ماده، بازتاب را حذف کنید

برای تطبیق هوا (n0=1)(n_0=1) به شیشه (n2=1.5)(n_2=1.5) در λd=0.6 μm\lambda_d=0.6\,\mu\mathrm m، لایه‌ای ایده‌آل با ضریب شکست ثابت انتخاب کنید:

nf=1.5≈1.224745,d=0.641.5≈0.122474 μm.n_f=\sqrt{1.5}\approx1.224745,\qquad d=\frac{0.6}{4\sqrt{1.5}}\approx0.122474\,\mu\mathrm m.
(12)

آنگاه δ=π/2\delta=\pi/2 و r0f=rf2r_{0f}=r_{f2}، پس صورت ضریب بازتاب r0f−rf2=0r_{0f}-r_{f2}=0. بنابراین R=0R=0 و T=1T=1. ضریب میدان الکتریکی در خروجی لایه:

t=in0n2≈0.816497i.t=i\sqrt{\frac{n_0}{n_2}}\approx0.816497i.
(13)

بازتاب صفر به معنی دامنهٔ الکتریکی واحد یا فاز عبور صفر نیست. فاز بالا انتشار از مرجع ورودی تا خروجی را در بر می‌گیرد. حذف بازتاب برای شرط طراحی ایده‌آل دقیق است؛ پاشندگی و خطای ساخت مطالعهٔ جدا می‌خواهند.

۷. صفحهٔ مرجع را جدی بگیرید

در صفحهٔ مشترک هوا، نبود ورقه با r=0,t=1r=0,t=1 توصیف می‌شود و بازیابی شنت الکتریکی g=2(1−t)/t=0g=2(1-t)/t=0 می‌دهد. مرجع فرودی را ثابت بگذارید و صفحهٔ خروجی را λ0/4\lambda_0/4 جلو ببرید. انتشار به‌تنهایی tnew=it_{\mathrm{new}}=i می‌دهد.

اگر این ضریب را بدون اصلاح وارد فرمول صفحهٔ مشترک کنید:

gwrong=2(1−i)i=−2−2i.g_{\mathrm{wrong}}=\frac{2(1-i)}{i}=-2-2i.
(14)

رسانایی منفی ظاهری به‌اشتباه وجود ورقهٔ فعال در فضای خالی را القا می‌کند. کنترل پیوستگی از ابتدا این برداشت را رد می‌کند: i≠1+0i\ne1+0. حذف فاز انتشار معلوم، t=1t=1 را برمی‌گرداند. این اصلاح مرجع لازم است، ولی به‌تنهایی موضعی بودن ورقهٔ معادلِ یک ساختار متناهی دلخواه را اثبات نمی‌کند.

۸. شنت و عدم‌قطعیت آن را بخوانید

برای درگاه‌های هوای یکسان و g=2g=2:

r=−12,t=12,R=T=14,A=12.r=-\frac12,\quad t=\frac12,\quad R=T=\frac14,\quad A=\frac12.
(15)

وارون‌سازی t=1/2t=1/2، مقدار g=2g=2 را بازمی‌یابد. در مقابل، g=2ig=2i راکتیو می‌دهد t=(1−i)/2t=(1-i)/2، r=(−1−i)/2r=(-1-i)/2 و R=T=1/2R=T=1/2 با A=0A=0. جریان راکتیو پراکندگی را تغییر می‌دهد و انرژی را ذخیره و پس می‌دهد، ولی در مدل ایده‌آل اتلاف میانگین زمانی ندارد.

برای وارون g=2/t−2g=2/t-2، حساسیت برابر است با

dgdt=−2t2,∣Δg∣≈2∣Δt∣∣t∣2.\frac{dg}{dt}=-\frac2{t^2},\qquad |\Delta g|\approx\frac{2|\Delta t|}{|t|^2}.
(16)

پس عدم‌قطعیت مطلق ثابت در میدان مختلط اندازه‌گیری‌شده نزدیک صفر عبور، خطای مطلق بزرگی در پارامتر می‌دهد. در صفر دقیق، وارون تعریف نشده است. بازیابی معتبر باید rr و tt مختلط را نگه دارد، t=1+rt=1+r را در صفحهٔ مشترک بیازماید، غیرفعال بودن را بررسی کند و پیش از ادعای گسترده‌تر، تحریک یا فرکانس مستقل دیگری را کنترل کند.

دفترچه اکنون این آزمون حساسیت را مستقیماً قابل ویرایش کرده است. اغتشاش کنترل‌شده هر دو ضریب را سازگار با رابطهٔ شنت مصنوعی تغییر می‌دهد؛ باقیماندهٔ پیوستگیِ جداگانهٔ چاپ‌شده نشان می‌دهد چرا خطاهای مستقل اندازه‌گیری به آزمون مدل خود نیاز دارند. خطای محدود دقیق را با برآورد مشتق مقایسه و نسبت اندازهٔ اغتشاش به عبور را گزارش کنید. تقریب فقط وقتی معتبر است که این نسبت بسیار کوچک‌تر از یک باشد.

خطای دقیق پارامتر بازیابی‌شدهٔ ورقه و برآورد مشتق موضعی با کاهش عبور، و نسبت آن‌ها برحسب اغتشاش نسبی میدان.

محاسبهٔ اصیل حساسیت قطعی از وارون تحلیلی ورقه. خطای مطلق کوچک میدان نزدیک عبور صفر به خطای بزرگ پارامتر تبدیل می‌شود. وقتی اغتشاش با عبور قابل مقایسه باشد، برآورد موضعی اعتبارش را از دست می‌دهد؛ اغتشاش‌ها مصنوعی و سازگار با مدل‌اند و عدم‌قطعیت اندازه‌گیری‌شده نیستند.

۹. جذب دو باریکه را با فاز کنترل کنید

g=2g=2 را ثابت نگه دارید و ورودی همدوس دوطرفهٔ a=(1,eiϕ)T/2\mathbf a=(1,e^{i\phi})^T/\sqrt2 را اعمال کنید. توان ورودی کل یک است. ضرب در ماتریس پراکندگی هوای یکسان می‌دهد:

b1=−1+eiϕ22,b2=1−eiϕ22.b_1=\frac{-1+e^{i\phi}}{2\sqrt2},\qquad b_2=\frac{1-e^{i\phi}}{2\sqrt2}.
(17)

بنابراین:

Pout=∣b1∣2+∣b2∣2=1−cos⁡ϕ2,A=1+cos⁡ϕ2.P_{\mathrm{out}}=|b_1|^2+|b_2|^2=\frac{1-\cos\phi}{2},\qquad A=\frac{1+\cos\phi}{2}.
(18)

هم‌فازی A=1A=1، فاز مخالف A=0A=0 و اختلاف فاز 90∘90^\circ مقدار A=1/2A=1/2 می‌دهد. حد ۵۰ درصد یک‌طرفه در فرض‌های خودش نقض نشده؛ روشن‌سازی را تغییر داده‌ایم. در هر درگاه خروجی، ابتدا میدان‌های مختلط را جمع و سپس توان را محاسبه کنید. جمع کردن دو نتیجهٔ توانی یک‌طرفه، تداخل را حذف می‌کند.

این پیش‌بینی تحلیلی دقیق برای ورقه و ورودی‌های مشخص است. آزمایش به تطبیق مد فضایی، کنترل فاز، کالیبراسیون و تحقق مادی نیز نیاز دارد. زمینهٔ پژوهشی را در مقالهٔ Chong و همکاران دربارهٔ جذب کامل همدوس ببینید.

ترتیب پیشنهادی تدریس

مثال‌های ۱ و ۲ را پیش از معرفی حل‌گر عددی، برای ارزیابی ده‌دقیقه‌ای استفاده کنید. مثال‌های ۳ و ۴ قطبش و بردار موج مختلط را می‌سنجند؛ ۵ و ۶ فاز را به مشاهده‌پذیر وصل می‌کنند؛ ۷ و ۸ بازیابی را نقد می‌کنند؛ و ۹ پیش‌بینی نهایی است. دو پیکان متحرک روی کاغذ می‌توانند پیش از محاسبه، جمع میدان خروجی را نشان دهند.

به آزمایشگاه و سپس خودآزمایی و پروژه بروید. دفترچه و مرورگر ابزار بررسی پیش‌بینی‌اند؛ بیان فرض‌ها همچنان وظیفهٔ شماست.

فصل ۲ — موج، مرز و ورقه
موج‌ها، مرزها و ورقه‌ها
فصل ۲ — موج، مرز و ورقه
خودآزمایی کارآگاه موج