فصل ۳: طراحی و شبیه‌سازی سلول واحد

پرسش محوری: چگونه هندسه به ردیفی قابل‌اعتماد در کتابخانهٔ طراحی فراسطح تبدیل می‌شود؟

طرحی فاز عبوری $-100^\circ$ و حداقل ۸۰ درصد توان عبوری می‌خواهد. جاروب عرض، فازهای رنگارنگ زیادی تولید می‌کند؛ کدام هندسه مناسب است؟ پیش از انتخاب باید معلوم باشد چه میدانی بهنجار شده، فاز کجا اندازه‌گیری شده، کدام کانال‌های خروجی حساب شده‌اند و افزایش تفکیک عددی چه تغییری ایجاد می‌کند.

این فصل زنجیرهٔ شواهد را می‌سازد: از قرارداد فلوکهٔ فصل ۴ به دامنهٔ کانال می‌رسیم. مثال‌ها، آزمایشگاه و مرورگر و دفترچه یک حل‌گر اصیل پایتون و یک مجموعه‌دادهٔ صادرشدهٔ مشترک دارند.

سلول واحد تیغه‌ای شبیه‌سازی‌شده با برش سه‌بعدی و مقطع x-z، مرز تناوبی، ابعاد، تابش TE و صفحه‌های مرجع پراکندگی. — عرض مرجع ۰٫۳۲۵ میکرومتر است؛ کتابخانه w را با دوره، ارتفاع و مواد ثابت پیمایش می‌کند. تیغه‌ها در y نامتناهی و در x تکرارشونده‌اند. خط‌چین بنفش یک سلول را مشخص می‌کند. شکل آزمایشگاه با عرض انتخابی تغییر می‌کند.

۳.۱ نتیجه‌ها و پیش‌نیازها¶

باید بتوانید هندسه، ماده، تابش، تناوب و صفحات مرجع را بی‌ابهام تعریف کنید؛ ضریب مختلط را به توان تبدیل کنید؛ مدل فوریه‌ای و قطع عددی آن را توضیح دهید؛ باقیماندهٔ جبری، بقا و همگرایی را جدا کنید؛ کتابخانهٔ نسخه‌دار با معیار امکان‌پذیری بسازید؛ و نیاز به آزمون ابرسلول یا قطعهٔ متناهی را بشناسید.

پیش‌نیازها: شرایط مرزی ماکسول، فازور، فرنل، سری فوریه، بردار ویژه و پایتون مقدماتی. خواندن بخش‌های ۴.۱ تا ۴.۷ ابتدا هندسهٔ کانال را می‌دهد. فصل ۱ و فصل ۲ مبنای پیشین را فراهم می‌کنند.

۳.۲ آزمایش الکترومغناطیسی را تعریف کنید¶

سلول واحد، ساختار بی‌نهایت تکرارشده با تحریک بلوخ مشخص است. پاسخ آن، برهم‌کنش با همان محیط تکراری را دارد؛ با تغییر عرض همهٔ ریج‌ها، کل محیط نیز تغییر می‌کند.

ریج مرجع در $x=0$ مرکز دارد، عرض $w$ ، ارتفاع $h$ ، دورهٔ $\Lambda$ و ناوردایی در $y$ دارد. لایه در $0<z<h$ ، هوا در $z<0$ و زیرلایهٔ همگن در $z>h$ است. تابش به سمت مثبت $z$ می‌رود.

کمیت	مقدار مرجع	نقش
$\Lambda$	$0.65\,\mu\mathrm m$	تکرار در $x$
$w$	0.08– $0.57\,\mu\mathrm m$	جاروب ۵۰ عرض
$h$	$0.60\,\mu\mathrm m$	ضخامت ثابت لایهٔ نقش‌دار
$\lambda_0$	$1.55\,\mu\mathrm m$	طول موج خلأ
$n_r,n_g$	۲٫۴، ۱٫۰	ضریب ریج و شکاف
$n_i,n_t$	۱٫۰، ۱٫۵	محیط فرودی و زیرلایه
$\theta_i$	$0^\circ$	تابش مرجع
قطبش	TE، $\mathbf E=\hat{\mathbf y}E_y$ ، $k_y=0$	کاهش اسکالر ماکسول

همهٔ ضرایب شکست مثبت، حقیقی، ثابت و غیرمغناطیسی‌اند؛ خواص اندازه‌گیری‌شدهٔ ماده‌ای خاص نیستند. کتابخانهٔ پژوهشی به مدل پاشندگی مشخص و ثابت‌های نوری اندازه‌گیری‌شده یا موجه نیاز دارد.

قراردادها $e^{-i\omega t}$ و $e^{i\mathbf k\cdot\mathbf r}$ هستند. $E_y$ فرودی در $z=0$ واحد است؛ مرجع بازتاب $z=0$ و عبور $z=h$ . ثابت نگه داشتن این دو وجه، مقایسهٔ عرض را معنادار می‌کند.

۳.۳ حل‌گر مناسب ساختار¶

روش	کاربرد طبیعی	کنترل عددی
مد فوریه یا RCWA	ساختار جانبی تناوبی با لایه‌های یکنواخت در راستای انتشار	هارمونیک، نمایش ماده و هندسه و برش لایه در پروفایل عمودی متغیر
اجزای محدود	شکل پیچیده، مرز ماده و میدان حوزهٔ فرکانس	مش، مرتبهٔ چندجمله‌ای، مرز و درگاه
FDTD	پاسخ پهن‌باند زمانی و میدان فضایی	شبکه، زمان و افت، PML و محل منبع و مانیتور

پیاده‌سازی دوره RCWA محدود با یک لایهٔ مستطیلی و ضرایب فوریهٔ دقیق است. انتشار مد ویژه در ارتفاع تحلیلی است؛ شبکهٔ تفاضلی $z$ یا پله‌بندی ارتفاع نداریم. قطع اصلی، تعداد هارمونیک‌های فضایی است. دیوارهٔ مایل یا تغییر عمودی به چند لایه یا حل‌گر دیگر نیاز دارد.

آموزش توری و تجزیهٔ مد Meep برای مقایسهٔ FDTD و مرجع فاز و شار مفید است. مستندات grcwa پیاده‌سازی جداگانهٔ گزارش کنترل را شرح می‌دهد. پیش از مقایسهٔ علامت و دامنه، قراردادها را نگاشت کنید.

۳.۴ کانال، دامنهٔ مختلط و توان¶

برای مرتبه‌های نگه‌داشته‌شدهٔ $m=-M,\ldots,M$ :

\alpha_m=\frac{k_{x,m}}{k_0}=n_i\sin\theta_i+m\frac{\lambda_0}{\Lambda},\qquad q_{o,m}=\sqrt{n_o^2-\alpha_m^2}.

(1)

ریشهٔ خروجی بخش حقیقی و موهومی نامنفی دارد. $q$ حقیقی مثبت منتشرشونده و موهومی مثبت میرا به بیرون است. در قطع دقیق $q=0$ ، پیاده‌سازی تغییر جزئی پارامتر می‌خواهد و از پایهٔ مماسی تکین استفاده نمی‌کند.

بسط‌های بیرونی:

E_y^{(i)}(x,z)=e^{ik_0(\alpha_0x+q_{i,0}z)}+ \sum_m r_m e^{ik_0(\alpha_mx-q_{i,m}z)},\quad z<0,

(2)

E_y^{(t)}(x,z)=\sum_m t_m e^{ik_0[\alpha_mx+q_{t,m}(z-h)]},\quad z>h.

(3)

برای این دامنه‌های TE میدان الکتریکی، توان هر مرتبه نسبت به شار عمودی فرودی:

R_m=\frac{\operatorname{Re}q_{i,m}}{q_{i,0}}|r_m|^2,\qquad T_m=\frac{\operatorname{Re}q_{t,m}}{q_{i,0}}|t_m|^2.

(4)

مرتبهٔ بسته در نیم‌فضای بی‌اتلاف، توان عمودی خروجی صفر دارد. همهٔ مرتبه‌های باز را برای $R,T$ جمع کنید. مدل بی‌اتلاف تا دقت عددی $R+T=1$ دارد. در حل‌گر جذب‌دار عمومی، کسر مفقود به محاسبهٔ سازگار توان تلف‌شده نیاز دارد.

در مرجع کتابخانه $\lambda_0/\Lambda\approx2.385$ از هر دو ضریب شکست بیرونی بزرگ‌تر است؛ فقط $m=0$ باز است، پس $T=1.5|t_0|^2$ و $R=|r_0|^2$ . با تغییر دوره، طول موج یا زاویه، کانال‌ها را دوباره بشمارید. با باز شدن مرتبهٔ دیگر، کتابخانهٔ صرفاً صفر ناقص می‌شود.

برای مرتبهٔ صفر باز، $S_{21}=\sqrt{q_{t,0}/q_{i,0}}\,t_0$ ضریب بهنجارشدهٔ توانی است. نوع خروجی حل‌گر را ثبت کنید. مقایسهٔ تقابل، بهنجارسازی، جهت کانال، صفحات مرجع و معکوس کردن مناسب بردار موج عرضی سازگار می‌خواهد.

۳.۵ استخراج مدل فوریهٔ TE محدود¶

برای گذردهی اسکالر غیرمغناطیسی و $E_y(x,z)$ :

\frac{\partial^2E_y}{\partial x^2}+\frac{\partial^2E_y}{\partial z^2}+k_0^2\epsilon_r(x)E_y=0.

(5)

$E_y=\sum_m E_m(z)e^{ik_0\alpha_mx}$ و سری فوریهٔ $\epsilon_r(x)$ را جای‌گذاری و روی هارمونیک‌ها تصویر کنید:

\frac{d^2\mathbf E}{dz^2}+k_0^2(\boldsymbol\epsilon-\mathbf A^2)\mathbf E=0, \qquad \epsilon_{mn}=\epsilon_{m-n},\quad A_{mn}=\alpha_m\delta_{mn}.

(6)

برای مستطیل مرکزی با کسر پرشدگی $f=w/\Lambda$ :

\epsilon_\ell=n_g^2\delta_{\ell0}+(n_r^2-n_g^2)f\,\operatorname{sinc}(\ell f), \qquad \operatorname{sinc}(u)=\frac{\sin(\pi u)}{\pi u}.

(7)

ضرایب از جمله حد $\ell=0$ تحلیلی‌اند؛ شبکهٔ پیکسلی در حل‌گر دوره نیست. برای مادهٔ حقیقی، ماتریس هرمیتی است و مسئلهٔ ویژه:

(\boldsymbol\epsilon-\mathbf A^2)\mathbf W=\mathbf W\mathbf Q^2.

(8)

ریشه‌های $\mathbf Q$ نیز شاخهٔ نامنفی دارند. ماتریس مد مشتق $\mathbf V=\mathbf W\mathbf Q$ است. برای پرهیز از عامل انتقال نمایی رشدکننده، ضرایب رو‌به‌جلو $\mathbf a$ را در وجه بالا و رو‌به‌عقب $\mathbf b$ را در وجه پایین تعریف کنید:

\mathbf E(z)=\mathbf W\left[e^{ik_0\mathbf Qz}\mathbf a+ e^{ik_0\mathbf Q(h-z)}\mathbf b\right],\qquad \mathbf P=e^{ik_0\mathbf Qh}.

(9)

پیوستگی $E_y$ و مشتق عمودی با تراوایی مشترک:

\begin{bmatrix} \mathbf V+\mathbf Q_i\mathbf W & (\mathbf Q_i\mathbf W-\mathbf V)\mathbf P\\ (\mathbf V-\mathbf Q_t\mathbf W)\mathbf P & -\mathbf V-\mathbf Q_t\mathbf W \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\mathbf a\\\mathbf b\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}2\mathbf Q_i\mathbf e_0\\\mathbf 0\end{bmatrix}.

(10)

$\mathbf Q_i,\mathbf Q_t$ قطری بیرونی و $\mathbf e_0$ تحریک مرتبهٔ صفر است. بازیابی ضرایب:

\mathbf r=\mathbf W(\mathbf a+\mathbf P\mathbf b)-\mathbf e_0, \qquad \mathbf t=\mathbf W(\mathbf P\mathbf a+\mathbf b).

(11)

تابع solve_cell این معادلات، sample_ey بازسازی داخل و بیرون و film_reference مرجع اسکالر جداگانهٔ فرنل و فابری‌پرو را اجرا می‌کنند. برای روش عمومی‌تر Moharam و Gaylord را ببینید.

قسمت حقیقی میدان TE و مربع دامنه پیرامون سه ریج تکراری دی‌الکتریک. — بازسازی تمام‌موج سلول مرکزی؛ هارمونیک اوانسنت خروجی در میدان نزدیک سهم دارد. مربع دامنه، توان یا چگالی انرژی نیست.

۳.۶ فاز را در صفحات مشخص استخراج کنید¶

فاز به تحریک و صفحه وابسته است. مانیتور ورودی $L_i$ بالای ریج و خروجی $L_t$ پایین آن باشد. اگر نسبت‌ها بر $E_y$ فرودی در $z=-L_i$ تقسیم شوند:

r_{\rm mon}=r\,e^{2ik_0q_iL_i},\qquad t_{\rm mon}=t\,e^{ik_0(q_iL_i+q_tL_t)}.

(12)

حذف این فازهای انتشار همگن، ضرایب مرجع دو وجه را می‌دهد. دفترچه این جبر را با جابه‌جایی مصنوعی مانیتور کنترل می‌کند؛ خود RCWA مستقیماً روی دو مرز تطبیق می‌دهد.

فاز پیچیده‌شده در $\pm180^\circ$ می‌پرد. بازکردن فاز در جاروب نرم، مسیر پیوسته را نشان می‌دهد؛ نزدیک $|t|=0$ تعریف بد و نویز می‌تواند گمراه‌کننده باشد. کنار فاز، دامنه و آستانهٔ دامنه یا توان طراحی را نگه دارید.

برای مقایسه با فاز هدف، اختلاف دایروی:

\Delta\phi=\arg\left[t\,e^{-i\phi_\star}\right].

(13)

تفریق مستقیم $179^\circ-(-179^\circ)$ برابر $358^\circ$ می‌دهد، ولی فاصلهٔ دایروی $2^\circ$ است. تغییر ارتفاع حتی در مسیر همگن فاز را عوض می‌کند؛ پیش از نسبت دادن کل تغییر به ریج، صفحهٔ مقایسهٔ فیزیکی مشترک یا مرجع زمینه را تعریف کنید.

۳.۷ پیش از صدور، راستی‌آزمایی کنید¶

پرسش	کنترل	محدودیت
دستگاه قطع‌شده حل شده است؟	باقیماندهٔ جبری نسبی	خطای قطع هارمونیک را نمی‌سنجد
توان حساب شده است؟	$	1-R-T
پالایش پاسخ را عوض می‌کند؟	تغییر دامنهٔ مختلط، توان و فاز معتبر با $M$	توافق قطع‌های متناهی تجربی است، نه کران خطای ریاضی تضمین‌شده

مرجع از ۱۸ حالت تحلیلی مرز و لایهٔ یکنواخت عبور می‌کند. برای $h=0$ و تابش عمودی، $r=-0.2,t=0.8,R=0.04,T=0.96$ . دورهٔ مصنوعی بزرگ‌تر در مرز تخت، نام مرتبهٔ باز بیشتری با دامنهٔ صفر می‌دهد.

برای هر عرض، $M=24$ و $M=32$ یعنی ۴۹ و ۶۵ هارمونیک مقایسه می‌شوند. معیارها: $|\Delta t|<5\times10^{-4}$ ، تغییر $R,T$ کمتر از $5\times10^{-4}$ ، تغییر فاز دایروی کمتر از $0.05^\circ$ و باقیماندهٔ توان کمتر از 10^-8. بدترین $|\Delta t|$ ذخیره‌شده حدود $6.59\times10^{-6}$ است. شش نقطه نیز در $M=48$ بررسی شده‌اند.

گزارش، مجموعهٔ مرتبه در تابش مایل، توان مرتبه‌های آینه‌ای، ورودی نامعتبر و پیوستگی میدان بازسازی‌شده را می‌آزماید. هشت حالت در تعداد هارمونیک یکسان با grcwa مقایسه و نمایش رستری آن جداگانه از ۲۵۶ تا ۲۰۴۸ نمونه پالایش می‌شود؛ در رستر ریز، بیشینهٔ اختلاف مختلط عبور صفر کمتر از $8\times10^{-7}$ است. هر دو RCWA هستند؛ FEM/FDTD و تجربه آینده‌اند.

نمودار همسایگی طیفی دفترچه اکتشافی و با مرتبهٔ ثابت است. طول موج‌های آن خارج از کتابخانهٔ تک‌طول‌موجی‌اند و پیش از پذیرش به همگرایی مستقل نیاز دارند.

۳.۸ کتابخانهٔ قابل‌استفادهٔ همکار¶

آزمایش: هندسه، واحد، ماده، طول موج، زاویه، قطبش و دورهٔ اولیه.
پاسخ: ضریب مختلط، نام مرتبه، توان کل و تفکیک‌شدهٔ لازم و صفحات مرجع فاز.
شاهد: نسخهٔ حل‌گر و منبع، محیط، کنترل عددی، تغییر پالایش، باقیمانده و آستانهٔ پذیرش.
دامنه: محدودهٔ پارامتر معتبر، فیزیک حذف‌شده و پوشش ناقص طراحی.

JSON مرجع فراداده و ۵۰ ردیف را با هم و CSV برای رسم و برازش می‌دهد. عرض هر ردیف بر عرض مرکزی نمونه در فراداده اولویت دارد. آزمایش‌های دارای مراجع ناسازگار را به‌جای ادغام بی‌بررسی، نسخه‌گذاری جدا کنید.

توان عبور و بازتاب، فاز عبور پیچیده و بازشده و مسیر مختلط عبور برحسب عرض ریج. — جاروب عرض، گسترهٔ پیوستهٔ حدود $132.04^\circ$ دارد؛ این ارتفاع و بازهٔ عرض حتی پیش از قید توان، پوشش کامل $360^\circ$ نمی‌دهند. Width عرض و Transmission عبور است.

۳.۹ انتخاب هندسه با آزمون امکان‌پذیری¶

ردیف پذیرفته‌شده با $T\geq0.8$ را نگه دارید و اندازهٔ خطای فاز دایروی را کمینه کنید. درخواست تنها وقتی قابل‌تحقق است که خطا حداکثر $5^\circ$ باشد.

برای هدف $-100^\circ$ ، عرض نزدیک $0.24\,\mu\mathrm m$ با $T\approx0.865$ و خطای حدود $0.50^\circ$ داریم. هدف $0^\circ$ با همان معیار محقق نمی‌شود: نزدیک‌ترین ردیف مجاز حدود $43.73^\circ$ خطا دارد. صریح گزارش کنید. افزایش بازهٔ ارتفاع، تغییر هندسه یا هدف، بررسی بعدی دیگری است.

درون‌یابی به کنترل نیاز دارد: حقیقی و موهومی یا نمایش سازگار با تناوب فاز را درون‌یابی و هندسهٔ جدید را، به‌ویژه نزدیک تغییر سریع، دوباره حل کنید. برای فصل ۱۰، پیش از تقسیم داده گروه‌های هندسی را جدا و عدم‌قطعیت عددی را حفظ کنید. پنجاه نمونهٔ مرتبط در یک طول موج، دادهٔ آموزشی‌اند و ادعای تعمیم عمومی هوش مصنوعی ندارند.

۳.۱۰ از کتابخانهٔ تناوبی تا قطعهٔ واقعی¶

تقریب تناوب موضعی، پاسخ آرایهٔ بی‌نهایت همسایه‌های یکسان را به هر سلول نسبت می‌دهد؛ قطعهٔ شکل‌دهندهٔ موج همسایه‌های متفاوت دارد و کوپل و پراش جمعی پاسخ را تغییر می‌دهند.

پیش از ادعای بازده قطعه، ابرسلول یا ساختار متناهی مناسب را با کانال‌های واقعی شبیه‌سازی و با پیش‌بینی کتابخانه مقایسه کنید. گرادیان تند، میدان نزدیک تشدیدی، لبه و تغییر سریع همسایه حساس‌اند. کتابخانه ورودی آزمون است، نه شبیه‌سازی تکمیل‌شدهٔ منحرف‌کننده.

برای پژوهش، پاشندگی و اتلاف فیزیکی، تحمل هندسی و کنترل حل‌گر مناسب ساخت را اضافه کنید. فصل ۴ حساب کانال‌ها، فصل ۵ سنتز و فصل ۶ اعتبارسنجی عددی را توسعه می‌دهند.

۳.۱۱ تمرین‌ها¶

حداقل فرادادهٔ بازتولید ضریب مختلط و علت ناکافی بودن فاز بدون صفحهٔ مرجع را بنویسید.
عوامل توان TE را از مؤلفهٔ عمودی پوینتینگ میانگین استخراج کنید.
ضرایب فوریهٔ مستطیل، شامل $w=0,w=\Lambda$ را استخراج کنید. انتقال جانبی ریج چه می‌کند؟
چرا $M=0$ می‌تواند محافظه‌کار و نادقیق باشد؟ کانال منتشرشوندهٔ بیرونی را از هارمونیک فوریهٔ داخلی جدا کنید.
$h$ را تغییر دهید و پوشش فاز، عبور و همگرایی را دوباره بسنجید. فاز ارتفاع‌های مختلف را چگونه مقایسه می‌کنید؟
در تابش مایل، همهٔ مرتبه‌های باز دو محیط و توانشان را حساب کنید.
دو درون‌یابی نزدیک پرش فاز را مقایسه و عرض میانی را با حل جدید بیازمایید.
کتابخانهٔ چندپارامتری فصل ۱۰ را با تقسیم گروهی و عدم‌قطعیت عددی تعریف کنید.
آزمون ابرسلول برای تقریب موضعی را با مشاهده‌پذیر و آستانهٔ ازپیش‌تعیین‌شده طراحی کنید.

با شش مثال و آزمایشگاه ادامه دهید و منبع و داده را برای گسترش از طریق درخواست ادغام دریافت کنید.

بررسی‌های محاسباتی مرتبط¶

با ms-09: پهنای باند طیفی، ms-10: سلول مستقل و ابرسلول و ms-11: بهینه‌سازی کران‌دار با کنترل مستقل ادامه دهید. این بررسی‌های اجراشده از همان هندسهٔ مشخص تیغه‌ای استفاده و پاسخ طیفی، تقریب مدل و اعتبارسنجی طرح را به هم وصل می‌کنند. طراحی معکوس، مرجع تمام‌موج مستقیم برای مقایسهٔ بعدی هوش مصنوعی است.

References¶

Moharam, M. G., & Gaylord, T. K. (1981). Rigorous coupled-wave analysis of planar-grating diffraction. Journal of the Optical Society of America, 71(7), 811–818. 10.1364/JOSA.71.000811