فصل ۴: ساختارهای تناوبی و تحلیل فلوکه

پرسش محوری: کدام باریکه‌ها می‌توانند از فراسطح تناوبی خارج شوند و کدام محاسبه توان آن‌ها را تعیین می‌کند؟

شش عنصر متفاوت با فاصلهٔ $500\,\mathrm{nm}$ را تکرار و با طول موج خلأ $1.55\,\mu\mathrm m$ روشن کنید. آیا در هوا پراکندگی غیرعمودی ممکن است؟ پیش از فرمول پیش‌بینی کنید: دورهٔ مربوط، فاصلهٔ عنصر است یا طول کامل توالی تکراری؟

تقارن انتقال، بردارهای موج مجاز و کنترل عددی پاسخ را می‌سازیم. مرورگر و دفترچه هندسهٔ کانال را محاسبه می‌کنند؛ آزمایشگاه، محاسبهٔ تمام‌موج بعدی برای دامنه را نیز مشخص می‌کند.

۴.۱ هدف و قرارداد¶

باید دورهٔ اولیه را از گام و ابرسلول جدا کنید؛ فاز بلوخ و بردار موج مماسی را استخراج کنید؛ مرتبه‌های بازتاب و عبور را جداگانه، با قطع مماسی، بشناسید؛ دامنهٔ صفرِ کانال باز و اهمیت عددی کانال بسته را توضیح دهید؛ و محاسبهٔ تناوبی و همگرایی توان مرتبه‌ای را بسنجید.

پیش‌نیازها موج تخت، فازور، شرایط مماسی، سری فوریه و جبر مختلط‌اند. راهنمای مثال‌ها مسیر کوتاه یادگیری دارد.

قرارداد زمانی $e^{-i\omega t}$ و فضایی $e^{i\mathbf k\cdot\mathbf r}$ است. سطح نزدیک $z=0$ ، دوره در $x$ برابر $\Lambda$ و در مدل مقدماتی، ناوردا در $y$ است. موج از $z<0$ به مثبت $z$ می‌آید. زاویه از عمود خروجی مربوط علامت‌دار است؛ زاویهٔ مثبت $k_x$ مثبت دارد.

نیم‌فضاهای فرودی و عبوری همگن، همسانگرد، بی‌اتلاف و با ضرایب حقیقی مثبت $n_i,n_t$ هستند. ابتدا $k_y=0$ . مادهٔ درون ساختار می‌تواند پیچیده‌تر باشد؛ آزمون‌های ضریب حقیقی زیر به ناحیهٔ بیرونی همگن مربوط‌اند.

نماد	معنی
$\lambda_0,k_0=2\pi/\lambda_0$	طول موج و عدد موج خلأ
$\Lambda,G=2\pi/\Lambda$	دوره و فاصلهٔ شبکهٔ متقابل
$k_{x,i}=n_i k_0\sin\theta_i$	بردار موج مماسی فرودی
$m\in\mathbb Z$	نام مرتبه در قرارداد ما
$n_o$	ضریب ناحیهٔ خروجی: $n_i$ برای بازتاب و $n_t$ برای عبور

۴.۲ الگوی واقعاً تکرارشونده¶

انتقال به اندازهٔ دورهٔ اولیه کل توزیع ماده را بازمی‌گرداند. یک گام در ردیف ستون‌های متفاوت، معمولاً یک هندسه را به هندسهٔ دیگر می‌برد؛ انتقال کل توالی آن را بازمی‌گرداند. برای شش عنصر متمایز با $p=0.5\,\mu\mathrm m$ ، دورهٔ اولیهٔ ممکن $\Lambda=6p=3\,\mu\mathrm m$ است.

«ممکن» مهم است: اگر خود توالی الگوی تکراری کوچک‌تری دارد، همان دوره را بگیرید. سلول عددی می‌تواند برای راحتی چند سلول اولیه داشته باشد؛ نام مرتبهٔ اضافی سازوکار پراکندگی تازه نمی‌سازد.

شش عنصر یکسان در سلول $6p$ همچنان دورهٔ $p$ دارند. در بسط $6p$ ، تقارن کوچک‌تر فقط در مرتبه‌های ابرسلول $m=6\ell$ ضریب ناصفر اجازه می‌دهد. کانال‌های دیگر می‌توانند در مخروط نور باشند ولی دامنهٔ صفر داشته باشند.

۴.۳ تقارن انتقال و فاز بلوخ¶

پاسخ رانده‌شده با یک موج تخت در همان بخش بلوخ تحریک قرار دارد:

E(x,z)=e^{ik_{x,i}x}u(x,z),\qquad u(x+\Lambda,z)=u(x,z).

(1)

پس:

E(x+\Lambda,z)=e^{ik_{x,i}\Lambda}E(x,z).

(2)

این رابطهٔ فاز دو مرز جانبی متناظر است. در تابش عمودی ضریب یک است؛ در تابش مایل، شرط تناوبی با فاز صفر عموماً تحریک دیگری می‌سازد.

جهت نگاشت مرز مهم است: اگر مقصد $x+\Lambda$ از مبدأ $x$ ساخته شود، ضریب قرارداد ما $e^{+ik_{x,i}\Lambda}$ و در نگاشت معکوس وارون آن است. حل‌گر می‌تواند قرارداد زمانی یا فاز داخلی متفاوت داشته باشد؛ موج تخت منتقل‌شده را کنترل کنید و علامت را از تصویر کپی نکنید.

هم‌ارزی با بردار شبکهٔ متقابل¶

جایگزینی $k_{x,i}$ با $k_{x,i}+\ell G$ ضریب انتقال را تغییر نمی‌دهد، چون $e^{i\ell G\Lambda}=1$ . این هم‌ارزی شبکهٔ متقابل، نام هارمونیک‌ها را جابه‌جا می‌کند؛ با تغییر سازگار نام‌ها، بردار موج فیزیکی عوض نمی‌شود. موج فرودی همچنان با تابش واقعی تعیین می‌شود.

۴.۴ استخراج مرتبه‌های فلوکه¶

بسط عامل تناوبی:

u(x,z)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}u_m(z)e^{imGx}.

(3)

جای‌گذاری:

E(x,z)=\sum_m u_m(z)e^{ik_{x,m}x},\qquad \boxed{k_{x,m}=k_{x,i}+\frac{2\pi m}{\Lambda}}.

(4)

همهٔ هارمونیک‌ها ضریب بلوخ یکسان دارند. الگو اجازهٔ تغییر تکانهٔ مماسی به مضرب صحیح $G$ می‌دهد؛ ماده و شرایط مرزی ضرایب $u_m$ را تعیین می‌کنند.

نمایش بی‌بُعد:

q_i=n_i\sin\theta_i,\qquad q_m=\frac{k_{x,m}}{k_0}=q_i+m\frac{\lambda_0}{\Lambda}.

(5)

در نمودار بردار موج، نقاط مرتبه‌ها روی محور مماسی هم‌فاصله‌اند. تغییر تابش همهٔ نقاط را جابه‌جا و تغییر $\lambda_0/\Lambda$ فاصله‌شان را عوض می‌کند.

۴.۵ کانال باز، مماسی و اوانسنت¶

در ناحیهٔ خروجی $o$ :

k_{z,m}^2=(n_o k_0)^2-k_{x,m}^2.

(6)

برای فاصلهٔ خروجی $s\geq0$ رو به دور شدن از سطح:

\kappa_m=k_0\sqrt{n_o^2-q_m^2},\qquad E_m\propto e^{ik_{x,m}x}e^{i\kappa_m s},

(7)

شاخهٔ خروجی، $\kappa_m$ حقیقی نامنفی برای انتشار و موهومی مثبت برای افت دارد. در مختصات آزمایشگاه، موج عبوری $k_z=+\kappa_m$ و بازتابی $k_z=-\kappa_m$ دارد، چون جهت خروجی متفاوت است.

شرط	طبقه	تفسیر
$	q_m	<n_o$
$	q_m	=n_o$
$	q_m	>n_o$

برای مرتبهٔ باز:

\theta_m=\sin^{-1}\!\left(\frac{q_m}{n_o}\right).

(8)

مقدار دلخواه خارج $[-1,1]$ را قطع عددی نکنید تا باریکهٔ مماسی بسازید؛ ابتدا طبقه‌بندی کنید. دفترچه نزدیک $|q_m|/n_o=1$ رواداری بی‌بُعد دارد و نزدیک قطع را جدا گزارش می‌کند. این رواداری خطای ممیز شناور را مدیریت می‌کند و عدم‌قطعیت طول موج، ماده یا هندسه نیست.

کانال اوانسنت چه می‌کند؟¶

برای $\kappa_m=i\alpha_m$ با $\alpha_m>0$ ، دامنه $e^{-\alpha_m s}$ است. طول افت دامنه $1/\alpha_m$ و شدت $1/(2\alpha_m)$ است. یک هارمونیک خروجی منفرد در بیرون همگن بی‌اتلاف گفته‌شده، توان عمودی میانگین خالص ندارد؛ ولی در ذخیرهٔ راکتیو انرژی، تطبیق مرز و کوپل نزدیک ساختار نقش دارد.

بنابراین بسته بودن دورمیدان به معنی قابل‌حذف بودن از بسط RCWA نیست. نزدیک قطع، $\alpha_m$ کوچک و طول افت بزرگ می‌شود؛ همگرایی هارمونیک و محل درگاه و مرجع اهمیت ویژه دارند.

همهٔ مرتبه‌های بالقوه باز را بشمارید¶

بازهٔ سخت مرتبهٔ صحیح باز:

\frac{\Lambda}{\lambda_0}(-n_o-q_i)<m< \frac{\Lambda}{\lambda_0}(n_o-q_i).

(9)

دو سر را جدا برای مماسی بودن بیازمایید. دفترچه بازهٔ صحیح محاط‌کنندهٔ محافظه‌کار و چند همسایهٔ بسته برای رسم دارد. پنجرهٔ ثابت مثل $m=-2,\ldots,2$ با افزایش دوره یا ضریب خروجی می‌تواند کانال را بی‌خبر حذف کند.

۴.۶ دو محیط خروجی، دو نقشه¶

بازتاب را با $n_o=n_i$ و عبور را با $n_o=n_t$ جدا طبقه‌بندی کنید. $k_{x,m}$ مشترک ولی مرز مخروط نور متفاوت است؛ ضریب شکست بزرگ‌تر مرتبهٔ منتشرشوندهٔ بیشتری می‌پذیرد.

در $\Lambda=3\,\mu\mathrm m$ ، $\lambda_0=1.55\,\mu\mathrm m$ و تابش عمودی، هوا $m=-1,0,+1$ و محیط $n_o=1.5$ مرتبه‌های $-2,-1,0,+1,+2$ را دارد. تابش مایل می‌تواند مجموعه را نامتقارن کند؛ مثبت و منفی الزاماً هم‌زمان باز نمی‌شوند.

بردارهای موج مماسی نسبت به مخروط نور هوا و شیشه و نقشهٔ تعداد مرتبهٔ عبوری برحسب زاویه و طول موج. — Figure 1:هندسهٔ تحلیلی از دفترچهٔ اجراشده؛ نقشه فقط شمار کانال ممکن است و دامنه یا بازده پراش نسبت نمی‌دهد. Open orders مرتبه‌های باز است.

۴.۷ وجود کانال و بازده پراش¶

$k_{x,m},k_{z,m}$ موج پایهٔ موجود را مشخص می‌کنند؛ حل مسئلهٔ مرزی ماکسول دامنه را می‌دهد. تقارن ممنوع‌کننده، مرز تخت یا تداخل ویرانگر می‌تواند کانال باز را با دامنهٔ صفر باقی بگذارد.

برای تبدیل دامنه به توان، بهنجارسازی را بیان کنید. موج TE با $E_y$ در محیط همسانگرد بی‌اتلاف:

\langle S_z\rangle=\frac12\operatorname{Re}\!\left(\frac{k_z}{\omega\mu}\right)|E_y|^2.

(10)

برای مرتبهٔ عبوری باز و $t_m=E_{y,m}^{(t)}/E_{y,i}$ :

T_m=\frac{k_{z,m}^{(t)}/\mu_t}{k_{z,i}/\mu_i}|t_m|^2.

(11)

با تراوایی برابر، عامل $n_t\cos\theta_m/(n_i\cos\theta_i)$ است. این رابطه برای دامنهٔ الکتریکی TE گفته‌شده است. TM با $E_x$ مماسی ادمیتانس دیگر می‌خواهد؛ با $H_y$ ، رابطهٔ متناظر $\epsilon$ به‌جای $\mu$ دارد. در دامنهٔ درگاهی بهنجارشدهٔ توانی سازگار، مربع اندازه مستقیماً کسر توان است.

برای مسئلهٔ غیرفعال، تمام کانال‌های خروجی منتشرشونده و جذب واقعی:

\sum_{m\in\mathcal P_r}R_m+ \sum_{m\in\mathcal P_t}T_m+A=1.

(12)

در مماس دقیق، دامنهٔ متناهی شار عمودی صفر دارد. نزدیک صفر شدن مؤلفهٔ عمودی، بهنجارسازی توان حساس است. ضریب میدان بسته را توان دورمیدان اضافی حساب نکنید.

مرجع تحلیلی دامنه¶

مرز تخت غیرمغناطیسی با تقارن انتقال پیوسته فقط پاسخ آینه‌ای فیزیکی دارد، هرچند سلول مصنوعی مرتبهٔ باز بیشتری نام‌گذاری کند. در تابش عمودی از $n_i=1$ به $n_t=1.5$ ، ضرایب TE برابر $r=-0.2,t=0.8$ ، پس $R=0.04,T=1.5|0.8|^2=0.96$ و جمع یک است. مربع $t$ تنها، به‌اشتباه $T=0.64$ می‌دهد.

دفترچه این حالت و حد بازتاب کلی داخلی را کنترل می‌کند؛ کنترل تحلیلی مرز است، نه شبیه‌سازی فراسطح نقش‌دار. آموزش رسمی تجزیهٔ مد Meep مثال عددی شار و مد دارد.

۴.۸ آرایهٔ متناهی و لوب توری¶

محاسبهٔ تناوبی بی‌نهایت جهت‌های گسسته می‌دهد؛ آرایهٔ روشن‌شدهٔ متناهی لوب با عرض ناصفر دارد. برای $N$ منبع اسکالر هم‌فاصلهٔ تجویزی با وزن یکسان و پیشروی فاز ورودی:

\mathcal A_N(\theta)=\frac1N\sum_{j=0}^{N-1} \exp\!\left[ij\Lambda(k_{x,i}-n_o k_0\sin\theta)\right].

(13)

بیشینه‌ها در همان شرط تطبیق مماسی، اگر داخل مخروط نور باشند، رخ می‌دهند. افزایش $N$ قله را باریک می‌کند. دفترچه مجموع را مستقیم حساب می‌کند تا تکینگی رفع‌شدنی $0/0$ فرمول نسبت سینوس رخ ندهد.

مربع ضریب آرایهٔ اسکالر بهنجارشده برای سه طول آرایه و خطوط زاویه‌های فلوکه. — Figure 2:منابع تجویزی با تعداد ۸، ۲۴ و ۶۴. خطوط عمودی جهت فلوکه‌اند. الگوی تابش عنصر، کوپل متقابل، تطبیق برداری مرز و بازده توانی فراسطح در این نمودار نیست.

در زبان آرایهٔ اسکن‌شونده، بیشینهٔ مرئی اضافی ناخواسته، لوب توری است. اگر $|\theta_i|\leq\theta_{\max}$ و مرتبهٔ صفر باز بماند، شرط کافی بسته ماندن همهٔ مرتبه‌های غیرصفر در کل اسکن:

\frac{\lambda_0}{\Lambda}>n_o+n_i\sin\theta_{\max}.

(14)

برای دو ضریب واحد و حد اسکن به $90^\circ$ ، شرط سخت فاصلهٔ نیم‌طول‌موجی حاصل می‌شود. فقط در تابش عمودی شرط متناظر $\Lambda<\lambda_0/n_o$ است. محیط، طول موج، محدودهٔ اسکن و کنار گذاشتن برابریِ مماسی را بگویید. در پهن‌باند، کوچک‌ترین طول موج مرتبط و پاشندگی واقعی را بررسی کنید.

۴.۹ گرادیان فاز و شکست تعمیم‌یافته¶

برای فاز عبور تجویزی $\Phi(x)$ ، تطبیق فاز مماسی پیشنهاد می‌کند:

n_t k_0\sin\theta_t-n_i k_0\sin\theta_i=\frac{d\Phi}{dx}.

(15)

این رابطه به صورت‌بندی Yu و همکاران مرتبط است. تطبیق فاز مطلوب را مشخص می‌کند؛ بازده مفید همچنان طراحی الکترومغناطیسی با دامنه و پاسخ مرزی مناسب می‌خواهد.

اگر تابع عبور مختلط با $\Lambda$ تناوبی و پیچش فاز صحیح ایده‌آل $\Phi(x+\Lambda)-\Phi(x)=2\pi q$ داشته باشد، گرادیان متوسط $qG$ است. در قرارداد فوریهٔ ما، عامل تجویزی $e^{iqGx}$ بردار موج عبوری را به $m=q$ می‌برد. نمونه‌برداری یا خطای فاز، هارمونیک‌های دیگری ایجاد می‌کند.

توالی واقعی عناصر تشدیدی الزاماً این تابع اسکالر را محقق نمی‌کند. پاشندگی، تغییر دامنه، کوپل و عدم‌تطبیق امپدانس عملکرد را تغییر می‌دهند. فلوکه پایهٔ پراکندگی را می‌دهد؛ طراحی گرادیان فاز تلاش برای تحریک ضرایب انتخابی آن پایه است.

۴.۱۰ از نقشهٔ کانال تا حل‌گر تناوبی¶

با سلول همگن یا مرز تختِ دارای پاسخ معلوم آغاز و سپس توری ساده اضافه کنید. پیش از جاروب بزرگ:

مختصات، دورهٔ واقعی، تحریک، ضریب بیرون، قطبش و قرارداد فازور را ثبت کنید.
فاز بلوخ درست را با موج فرودی انتقال‌یافته کنترل کنید.
ناحیهٔ بیرونی همگن و درگاه خروجی یا جاذب مناسب داشته باشید؛ همهٔ مرتبه‌های باز دو طرف در کل جاروب را شامل کنید.
نام مرتبهٔ حل‌گر را به بردار موج واقعی نگاشت کنید؛ علامت یا پایه ممکن است فرق داشته باشد.
توان فرودی و خروجی را سازگار بهنجار و در صورت امکان توان مدی را با شار مستقل مقایسه کنید.
مش، قطع هارمونیک، فاصلهٔ درگاه یا دامنه و PML لازم را پالایش کنید. تراز توان به‌تنهایی همگرایی دامنه و فاز هر مرتبه نیست.
صفحهٔ مرجع، ضریب مختلط، شکست‌ها و باقیماندهٔ همهٔ کانال‌ها را نگه دارید.

طرح آزمایشگاه مرز تخت، توری و شش ستون اختیاری را مرحله‌بندی می‌کند. نمونهٔ رسمی منحرف‌کنندهٔ COMSOL مرجع شش ستون Si روی SiO2 با مرز تناوبی و درگاه مرتبه‌ای است. هندسه و دستور آن مرجع خارجی‌اند؛ نتایج اجراشدهٔ این فصل تحلیلی‌اند.

فراتر از مدل مقدماتی¶

در شبکهٔ دوبعدی:

\mathbf k_{\parallel,mn}=\mathbf k_{\parallel,i}+m\mathbf G_1+n\mathbf G_2.

(16)

در بیرون همسانگرد بی‌اتلاف، مربع اندازه را با $(n_o k_0)^2$ مقایسه کنید. دفترچه مثال شبکهٔ مستطیلی دارد تا شرط یک‌بعدی با قاعدهٔ دوبعدی اشتباه نشود. سامانهٔ اتلافی، ناهمسانگرد، غیرموضعی یا زمان‌مدوله به پاشندگی و تحلیل موج خروجی یا جریان انرژی مناسب نیاز دارد؛ آزمون زاویهٔ حقیقی arcsin جهانی نیست.

۴.۱۱ تمرین و بحث¶

ضریب بلوخ انتقال $-\Lambda$ را استخراج کنید. چرا ضریب تنها نام مرتبهٔ فرودی را تعیین نمی‌کند؟
معمای شش عنصر را در هوا و ضریب خروجی ۱٫۵ با همهٔ زاویه‌های باز حل کنید.
برای $\lambda_0=30\,\mathrm{mm}$ ، $\Lambda=25\,\mathrm{mm}$ و $\theta_i=20^\circ$ در هوا، فاز و همهٔ مرتبه‌های باز را بیابید. کدام علامت مرتبهٔ اول باز است؟
زاویهٔ مماسی $m=-1$ را برای $\Lambda=0.8\,\mu\mathrm m$ ، $\lambda_0=1.55\,\mu\mathrm m$ ، $n_i=1,n_o=1.5$ و سپس $n_o=1$ بیابید.
دامنهٔ صفر مرتبهٔ باز ابرسلول به علت دورهٔ اولیهٔ کوچک‌تر را توضیح دهید.
عامل توان TE و تفاوت بهنجارسازی با تعریف ضریب TM را استخراج کنید.
اثر تناوب، طول دهانه و چیزهای غایب مدل اسکالر را در آرایه‌های متناهی مقایسه کنید.
همگرایی نزدیک قطع را طراحی و رواداری طبقه‌بندی را از همگرایی حل‌گر جدا کنید.
آزمایش تمام‌موجی طراحی کنید که دورهٔ غلط، فاز بلوخ غلط، کانال حذف‌شده و طراحی فاز ضعیف را جدا کند.

ادامه: مثال‌ها، مرورگر و آزمایشگاه و دفترچه.

منابع و مطالعهٔ بیشتر¶

Yu و همکاران، Light Propagation with Phase Discontinuities، Science 334، 333–337، ۲۰۱۱؛ مقاله و صفحهٔ نویسنده.
نظریهٔ توری COMSOL: مرجع جهت؛ مدل پرتو را از دامنهٔ تمام‌موج جدا کنید.
منحرف‌کنندهٔ COMSOL، شناسهٔ 115971: هندسه و حل‌گر شش‌ستونی تناوبی.
تجزیهٔ مد Meep: مثال رسمی پراش و توان مدی برای پیاده‌سازی آینده.

استخراج‌ها، شکل‌ها، تمرین و کد اکتشافی اصیل دوره‌اند. فرض‌های مرورگر و دفترچه صریح‌اند تا ادعاها با بررسی تمام‌موج بعدی گسترش یابند.

References¶

Yu, N., Genevet, P., Kats, M. A., Aieta, F., Tetienne, J.-P., Capasso, F., & Gaburro, Z. (2011). Light Propagation with Phase Discontinuities: Generalized Laws of Reflection and Refraction. Science, 334(6054), 333–337. 10.1126/science.1210713