فصل ۵: سنتز فراسطح - Metasurface.ir

پرسش محوری: موج خروجی مطلوب را چگونه به طراحی فیزیکی و شاهد عملکرد تبدیل کنیم؟

فصل ۴ کانال‌های ساختار تناوبی و فصل ۳ پاسخ سلول تکراری را تعیین می‌کنند. سنتز میدان مطلوب را به هندسه وصل و ساختار مونتاژشده را می‌آزماید. پروفایل فاز نقطهٔ شروع است؛ تحقق آن باید دامنه، قطبش، توان و قید ساخت را نیز برآورده کند.

مثال کامل آموزشی، منحرف‌کنندهٔ دی‌الکتریک شش‌سلولی است که از دادهٔ تناوبی انتخاب و به‌صورت ابرسلول تمام‌موج بررسی می‌شود. سپس تمرکز با دهانهٔ اسکالر و قطبش با ماتریس جونز تحلیلی معرفی می‌شوند. مثال‌ها، آزمایشگاه، دفترچهٔ انحراف و دفترچهٔ جبهه‌موج سطح شاهد جدا دارند.

برش سه‌بعدی و مقطع x-z ابرسلول شش‌تیغه‌ای توسعه‌یافته با ترتیب عرض، ارتفاع مشترک، موج فرودی و دوره. — این طرح توسعه‌یافتهٔ ذخیره‌شده h = 1.80 µm و L = 6Λ = 3.90 µm دارد. شش تیغه با هم حل می‌شوند و کل توالی تکرار می‌شود. کنترل حالت، عرض و ارتفاع را هم‌زمان با توان پراش تغییر می‌دهد. مثال تمرکز و جونز بعدی این فصل مدل‌های جدا هستند.

۵.۱ نتیجه‌ها و زنجیرهٔ سنتز¶

باید بتوانید فاز انحراف و تمرکز را با قرارداد مشخص استخراج کنید؛ نمونه‌برداری، کوانتش و پوشش ناقص را توضیح دهید؛ هندسه را با خطای دایروی و قید توان انتخاب کنید؛ مدل موضعی را از تمام‌موج جدا کنید؛ توان هدف نسبت به ورودی را از خلوص مشروط به عبور جدا گزارش کنید؛ سنجهٔ صادقانهٔ کانون خطی اسکالر تعریف و فاز هندسی را در پایهٔ دایروی مشخص استخراج کنید.

زنجیره: میدان هدف ← نمایش ← پاسخ تحقق‌پذیر ← هندسه ← راستی‌آزمایی مستقل. ترتیب اجرایی از میدان هدف به بررسی مستقل است؛ در هر گام فرض تازه را ثبت کنید. پیش‌نیازها قرارداد کانال فصل ۴، پاسخ مختلط فصل ۳، فوریه و جبر خطی‌اند.

مدل	پرسش	شاهد این فصل
ماسک پیوستهٔ ایده‌آل	کدام میدان فضایی موج مطلوب می‌دهد؟	فاز تحلیلی
ماسک نمونه‌برداری‌شده یا موضعی	گسسته‌سازی و کتابخانه چه پیش‌بینی می‌کنند؟	ضرایب دقیق پله‌ای و پاسخ انتخابی
ساختار تناوبی تمام‌موج	ریج‌های کوپل‌شده واقعاً چه می‌پراکنند؟	توان مرتبهٔ TE همگرا
دهانهٔ متناهی اسکالر	میدان تجویزی چگونه منتشر می‌شود؟	کانون خطی و کنترل پنجره و شبکه
جونز تحلیلی	پاسخ ناهمسانگرد مشخص چه تبدیلی می‌دهد؟	فاز هندسی و کسر تبدیل

۵.۲ پیش از فاز، میدان هدف را مشخص کنید¶

در صفحهٔ مرجع، هدف اسکالر:

E_{\rm out}(x)=A(x)e^{i\phi(x)}.

(1)

برای میدان برداری دو مؤلفهٔ مختلط یا تبدیل جونز مناسب بدهید. طول موج، تابش، محیط، صفحه، دهانه و مشاهده‌پذیر را نیز بنویسید. جهت باریکه، توان مرتبه، عرض کانون و کسر تبدیل قطبش هدف‌های متفاوت‌اند.

با $e^{-i\omega t}$ و عامل ورودی $e^{ik_{x,i}x}$ ، فاز ضربی بردار موج عرضی موضعی می‌افزاید:

k_{x,\rm out}=k_{x,i}+\frac{d\phi}{dx}.

(2)

گرادیان ثابت $g$ :

n_t\sin\theta_t=n_i\sin\theta_i+\frac{g}{k_0}.

(3)

این رابطهٔ تکانهٔ جبهه‌موج است؛ دامنهٔ ساختار واقعی به حل پراکندگی نیاز دارد. کار شکست تعمیم‌یافتهٔ Yu و همکاران مرجع پایه و فصل ۴ مرجع مرتبهٔ گسستهٔ هندسهٔ واقعاً تناوبی است.

رمپ افزایندهٔ $2\pi\ell$ در $L$ ، گرادیان $g=2\pi\ell/L$ و مرتبهٔ هدف $m=\ell$ دارد. رمپ با افزایش غیرصحیح، در هندسهٔ اجباری تکرارشونده مرتبهٔ فلوکهٔ دلخواه تازه نمی‌سازد؛ الگوی تکراری طیف فوریهٔ خود را دارد.

۵.۳ گرادیان فاز، بازده را تعیین نمی‌کند¶

شار عمودی یک موج TE متناسب با $n\cos\theta\,|E_y|^2$ است. اگر تمام توان فقط به موج هدف و بدون بازتاب یا کانال دیگر برود، نسبت میدان باید داشته باشد:

\left|\frac{E_t}{E_i}\right|= \sqrt{\frac{n_i\cos\theta_i}{n_t\cos\theta_t}}.

(4)

میدان صرفاً فازی با دامنهٔ واحد عموماً آن شار را ندارد. پراکندگی غیرفعال کامل به امپدانس، همهٔ خروجی‌ها و پاسخ موضعی یا جمعی نیاز دارد. Asadchy و همکاران دربارهٔ بازتاب و شکست کامل قیدهای فراتر از تجویز گرادیان را بحث می‌کنند.

یک مسیر سنتز از میدان مرزی شروع می‌شود؛ با عمود $\hat{\mathbf n}$ از ناحیهٔ ۱ به ۲:

\hat{\mathbf n}\times(\mathbf H_2-\mathbf H_1)=\mathbf J_s,\qquad \hat{\mathbf n}\times(\mathbf E_2-\mathbf E_1)=-\mathbf M_s.

(5)

جریان‌های سطحی الکتریکی و مغناطیسی معادل، پرش میدان را توصیف می‌کنند. ورقهٔ تحقق‌پذیر، رابطهٔ مادهٔ سازگار با غیرفعال بودن و تقابلِ لازم و اطلاعات کافی دربارهٔ هر دو تحریک یا قطبش می‌خواهد. مسیر اجراشدهٔ این فصل هندسهٔ دی‌الکتریک را از کتابخانه برمی‌گزیند و کل پراکندگی را می‌آزماید؛ تانسور پذیرفتاری دوآنیزوتروپ عمومی بازیابی نمی‌کند.

۵.۴ نمونه‌برداری فضایی و کوانتش فاز¶

یک دوره را به $N$ بازهٔ گام $p=L/N$ تقسیم و مقدار مختلط $t_j$ را به بازهٔ $j$ با مرکز $x_j=(j+1/2)p$ بدهید. ضریب دقیق فوریهٔ میدان پله‌ای:

C_m=\operatorname{sinc}\left(\frac{m}{N}\right) \frac{1}{N}\sum_{j=0}^{N-1}t_j e^{-2\pi i m(j+1/2)/N}, \qquad \operatorname{sinc}(u)=\frac{\sin(\pi u)}{\pi u}.

(6)

عامل sinc شکل بازهٔ عرض‌دار را نشان می‌دهد؛ مجموع گسستهٔ بدون آن، مدل منبع دیگری است. برای $t_j=e^{2\pi i(j+1/2)/N}$ :

|C_{+1}|^2=\operatorname{sinc}^2(1/N).

(7)

برای شش سطح، کسر ضریب حدود ۰٫۹۱۱۹ است؛ ویژگی میدان اسکالر پله‌ای، نه بازده تمام‌موج قطعه. توان مرتبهٔ فیزیکی شار صحیح و حل پراکندگی سازگار می‌خواهد.

شرط کافی نمونه‌برداری موضعی فاز $p\,\max|d\phi/dx|<\pi$ است تا حد نایکوئیست گرادیان نقض نشود. این شرط کانال فیزیکی اضافی را حذف و دقت پاسخ موضعی را ثابت نمی‌کند؛ دورهٔ واقعی و مخروط نور بیرون را هم بررسی کنید.

۵.۵ کتابخانهٔ فاز تحقق‌پذیر¶

کتابخانهٔ فصل ۳ با $h=0.60\,\mu\mathrm m$ و عرض 0.08– $0.57\,\mu\mathrm m$ حدود $132^\circ$ پوشش دارد و رمپ کامل را دقیق نمی‌سازد. آن داده را حفظ و مجموعهٔ فصل ۵ را جدا تولید می‌کنیم.

دفترچه پنج ارتفاع مشترک از ۰٫۶۰ تا $1.80\,\mu\mathrm m$ را در همان عرض غربال می‌کند. اولین پوشش درشت بیش از یک دور در $h=1.80\,\mu\mathrm m$ است. در آن ارتفاع ۱۶۱ عرض، هرکدام با $M=24$ و 32 بررسی می‌شوند. گسترهٔ بازشدهٔ بیش از $360^\circ$ ، پس از اعمال قید توان الزاماً پوشش قابل‌استفادهٔ کامل نیست.

برای فاز نمونهٔ $\phi_j$ ، ردیف پذیرفته با $T_j\geq0.8$ را نگه و خطای دایروی را کمینه کنید:

\Delta\phi_j=\arg\left[t_j e^{-i(\phi_j+\phi_0)}\right].

(8)

آفست کلی $\phi_0$ جهت ایده‌آل را عوض نمی‌کند، ولی هندسهٔ انتخابی را عوض می‌کند. ۳۶۱ آفست ثابت با کمینهٔ میانگین مربع خطای فاز و فقط دادهٔ سلول واحد بررسی می‌شوند. مرجع گسترش‌یافته هر شش فاز را با خطای کمتر از $1^\circ$ تطبیق می‌دهد. نتیجهٔ ابرسلول بعداً ارزیابی شده و در انتخاب ارتفاع یا آفست استفاده نمی‌شود.

این سنتز گسستهٔ کوچک و شفاف با بهینه‌سازی گرادیانی، مولد یا جانشین متفاوت است. داده‌ها طرح موفق و طرح کتابخانهٔ محدود را هر دو نگه می‌دارند.

۵.۶ هندسهٔ کامل منحرف‌کننده را بررسی کنید¶

شش ریج مرکزی با گام $p=0.65\,\mu\mathrm m$ ، دورهٔ $L=3.90\,\mu\mathrm m$ ، طول موج $1.55\,\mu\mathrm m$ ، ضریب ریج و شکاف ۲٫۴ و ۱، ورودی ۱ و زیرلایه ۱٫۵، با تابش TE عمودی داریم. ریج‌های یک توالی ارتفاع مشترک دارند.

مرتبهٔ عبوری هدف $m=+1$ :

\theta_{t,+1}=\arcsin\left(\frac{1.55}{1.5\times3.90}\right) \approx15.36^\circ.

(9)

بازتاب $m=-2,\ldots,+2$ و عبور $m=-3,\ldots,+3$ باز دارد؛ هرکدام ضریب مختلط و عامل توان خود را دارند. این هندسه و تابش با مرجع شش‌ستونی COMSOL فصل ۴ متفاوت است.

معادلات TE فصل ۳ به شش مستطیل هم‌صفحه گسترش می‌یابند؛ ضرایب گذردهی دقیق:

\epsilon_\ell=n_g^2\delta_{\ell0}+ (n_r^2-n_g^2)\sum_j\frac{w_j}{L} \operatorname{sinc}\left(\frac{\ell w_j}{L}\right)e^{-2\pi i\ell x_j/L}.

(10)

مسئلهٔ مرزی کامل روی وجه بالا و پایین مشترک حل می‌شود. همهٔ هارمونیک‌های نگه‌داشته‌شده از طریق ماتریس ماده برهم‌کنش دارند. عوامل انتشار میرای مرجع وجه، از رشد انتقال اوانسنت جلوگیری می‌کنند.

مقایسهٔ موضعی از ضرایب سلول جدا، میدان پله‌ای و تخمین توان $\operatorname{Re}(q_{t,m})|C_m|^2/q_{i,0}$ و همتای بازتاب استفاده می‌کند. این‌ها پیش‌بینی مدل‌اند؛ جمع الزاماً یک نیست، چون مرز و همسایه‌های متفاوت جمعی حل نشده‌اند.

پیش‌بینی پله‌ای موضعی و توان مرتبهٔ تمام‌موج برای توالی محدود، گسترش‌یافته، یکسان و معکوس. — طرح موضعی با هندسهٔ کامل آزموده می‌شود. سلول یکسان دامنهٔ غیرصفر ابرسلول را سرکوب و معکوس‌سازی، توزیع توان مرتبه را برمی‌گرداند.

طرح گسترش‌یافته حدود ۸۵٫۵۴ درصد توان فرودی را به $m=+1$ می‌برد. عبور کل حدود ۹۱٫۱۴ درصد است؛ پس هدف حدود ۹۳٫۸۵ درصد توان عبوری دارد. این دو مخرج و مشاهده‌پذیر متفاوت‌اند. تخمین موضعی هدف حدود ۸۰٫۲۷ درصد است.

کتابخانهٔ محدود اولیه در توالی انتخابی حدود ۳۸٫۶۲ درصد توان ورودی را به +1 می‌برد؛ این نتیجهٔ آموزنده به علت عملکرد کمتر حذف نشده است. شش ریج یکسان تا دقت عددی دامنهٔ غیرصفر صفر دارند، با آنکه جهت‌ها مجازند. معکوس طرح گسترش‌یافته، توان غالب را به $m=-1$ می‌برد.

بازسازی قسمت حقیقی میدان الکتریکی در دو ابرسلول شش‌ریجی تکراری و زیرلایه. — میدان تمام‌موج ابرسلول TE بی‌نهایت تکراری. کسر دورمیدان با توان مدی مرتبه‌ای اثبات می‌شود؛ تصویر میدان تنها کافی نیست.

۵.۷ چند سطح راستی‌آزمایی سنتز¶

چهار ابرسلول نهایی در $M=144$ و 192، معادل ۲۸۹ و ۳۸۵ هارمونیک، برای هر توان باز و ضریب مختلط عبور معتبر مقایسه شده‌اند. بیشینهٔ تغییر توان ذخیره‌شده کمتر از $2.4\times10^{-6}$ و دامنهٔ عبور باز کمتر از $1.4\times10^{-5}$ است. تراز توان همهٔ کانال‌ها جدا کنترل می‌شود.

افزایش تعداد سلول با $M$ ثابت، پهنای باند فوریهٔ فیزیکی نمایش‌داده‌شده را کاهش می‌دهد. در تعبیهٔ سلول یکسان، قطع با تعداد سلول اولیه مقیاس، پاسخ با حل اولیه مقایسه و دامنهٔ ممنوع کنترل می‌شود. هندسهٔ آینه‌ای در تابش عمودی باید توان مثبت و منفی را جابه‌جا کند.

سه ابرسلول در $M=48$ برابر با grcwa جدا مقایسه شده‌اند؛ رستر میانگین‌گیری‌شدهٔ سلول از ۵۱۲ تا ۴۰۹۶ پالایش می‌شود. اختلاف رستر ریز در توان مرتبه و عبور مختلط صفر کمتر از $4\times10^{-6}$ است. هر دو RCWA‌اند؛ FEM/FDTD و تجربه شواهد آیندهٔ مستقل‌اند.

۵.۸ سنتز جبهه‌موج کانونی¶

برای تابش عمودی و کانون $(0,f)$ در خروجی همگن، فاز تجمعی یکسان می‌دهد:

\phi(x)=-k_t\left(\sqrt{x^2+f^2}-f\right)+\phi_0.

(11)

برای کانون نقطه‌ای دوبعدی، $x^2$ را با $x^2+y^2$ جایگزین کنید. در تابش مایل، فاز ورودی $k_{x,i}x+k_{y,i}y$ را نیز کم کنید. حد پیرامحوری $\phi(x)\approx-k_tx^2/(2f)$ است. پروفایل دقیق تقریب مسیر را حذف می‌کند، ولی مدل اسکالر دهانه محدودیت خود را دارد.

مثال اجراشده کانون خطی استوانه‌ای با ۴۸ سلول، دهانهٔ $D=31.2\,\mu\mathrm m$ ، فاصلهٔ $f=30\,\mu\mathrm m$ ، طول موج $1.55\,\mu\mathrm m$ و ضریب خروجی ۱٫۵ است. میدان پیوستهٔ ایده‌آل، فاز نمونه‌برداری‌شده و ضرایب مختلط موضعی کتابخانهٔ گسترش‌یافته مقایسه می‌شوند.

انتشار طیف زاویه‌ای اسکالر:

U(x,z)=\mathcal F^{-1}\left\{\widetilde U(k_x,0) e^{iz\sqrt{k_t^2-k_x^2}}\right\},

(12)

برای افت اوانسنت رو به جلو، بخش موهومی ریشه مثبت است. FFT پنجرهٔ محاسباتی تناوبی فرض می‌کند؛ دهانه را با حاشیهٔ صفر بپوشانید و پنجره و فاصلهٔ نمونه را مستقل پالایش کنید. موج تخت نمونه‌برداری‌شدهٔ دقیق فاز انتشار را کنترل می‌کند. این کنترل مدل اسکالر است، نه عدسی متناهی تمام‌موج.

فاز دهانه و پروفایل کانون خطی اسکالر برای میدان پیوسته، نمونه‌برداری‌شده و کتابخانهٔ موضعی. — دهانهٔ کتابخانه دامنه و فاز موضعی با آفست انتخابی دارد. آفست شدت منتشرشده را عوض نمی‌کند؛ فازهای مطلق رسم‌شده الزاماً منطبق نیستند. مدل اسکالر، بازده تمرکز تمام‌موج ادعا نمی‌کند.

در صفحهٔ طراحی، FWHM پیوسته حدود $0.971\,\mu\mathrm m$ و مدل کتابخانه حدود $0.985\,\mu\mathrm m$ است. دفترچه اوج مربع میدان نسبت به مرجع و سهم شدت خطی در پنجرهٔ $\pm1\,\mu\mathrm m$ را نیز می‌دهد. این‌ها سنجهٔ خطی اسکالرند، نه بازده توان تمرکز فیزیکی یا انرژی محصور دوبعدی. دهانهٔ متناهی می‌تواند بیشینهٔ شدت محوری را از فاصلهٔ طراحی جابه‌جا کند.

۵.۹ کنترل دامنه و قطبش¶

یک عرض عموماً دامنه و فاز را هم‌زمان عوض می‌کند. میدان مختلط دلخواه ممکن است پارامتر مستقل بیشتر، ناهمسانگردی، تداخل، چندلایه یا هدف محدودتر بخواهد. باریک‌سازی دامنه، لوب جانبی و مصالحهٔ اوج و عرض اسکالر را عوض می‌کند؛ تحقق فیزیکی باید توان حذف‌شده، بازتابی و تبدیل‌شده را نیز حساب کند.

عنصر ناهمسانگرد با ضرایب اصلی $t_x,t_y$ و چرخش $\theta$ :

J(\theta)=R(\theta) \begin{bmatrix}t_x&0\\0&t_y\end{bmatrix}R(-\theta), \quad R(\theta)=\begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix}.

(13)

پایهٔ دایروی ثابت $\mathbf e_\sigma=(1,i\sigma)^T/\sqrt2$ را تعریف کنید:

J(\theta)\mathbf e_\sigma= \frac{t_x+t_y}{2}\mathbf e_\sigma+ \frac{t_x-t_y}{2}e^{2i\sigma\theta}\mathbf e_{-\sigma}.

(14)

مؤلفهٔ تبدیل‌شده فاز هندسی $2\sigma\theta$ و دامنهٔ $(t_x-t_y)/2$ می‌گیرد. برای تأخیرانداز ایده‌آل بی‌اتلاف $t_x=e^{i\delta/2}$ و $t_y=e^{-i\delta/2}$ ، کسر تبدیل $\sin^2(\delta/2)$ است. پاسخ نیم‌موج تبدیل را بیشینه می‌کند؛ زاویهٔ چرخش به‌تنهایی بازده زیاد نیست.

شیب‌های مخالف فاز هندسی برای دو حالت دایروی تعریف‌شده و تبدیل برحسب تأخیر فاز. — جونز ایده‌آل تحلیلی، جدا از ریج اسکالر TE؛ تحقق فیزیکی به طراحی سلول برداری نیاز دارد.

دفترچه ضرایب، یکانی بودن نیم‌موج و کسر تبدیل را بررسی می‌کند. برای فراسطح ناهمسانگرد واقعی، پاسخ برداری کامل با بهنجارسازی سازگار و کانال قطبش ناخواسته را حفظ کنید. Arbabi و همکاران نمونهٔ اولیهٔ کنترل فاز و قطبش دی‌الکتریک‌اند.

۵.۱۰ هدف، قید و توسعهٔ پژوهشی¶

تابع هدف می‌تواند خطای پاسخ مختلط، مرتبهٔ ناخواسته و حساسیت ساخت را جریمه کند: پاداش توان هدف و جریمهٔ بازتاب و عبور ناخواسته تحت قید عرض، شکاف، ارتفاع، ماده و غیرفعال بودن. پیش از بهینه‌سازی روشن‌سازی و وزن طول موج و زاویه را تعیین کنید. شرط مستقل بررسی را پیش از دیدن بهترین نتیجه نگه دارید.

اجرای حاضر تطبیق گسستهٔ فاز و شبکهٔ آفست کلی است؛ بهینه‌ساز هندسهٔ کامل، بازسازی هولوگرام، مطالعهٔ تحمل مقاوم یا یادگیری فعال اجرا نمی‌کند. این‌ها توسعهٔ فصل‌های ۶ و ۱۰ هستند. ادعای پهن‌باند به پاشندگی ماده و پراکندگی وابسته به طول موج نیاز دارد؛ محاسبهٔ دوبارهٔ فاز تک‌فام کافی نیست.

۵.۱۱ تمرین‌ها¶

علامت مرتبهٔ رمپ فاز مثبت و اثر معکوس‌سازی فضایی را استخراج کنید.
دامنهٔ TE لازم برای عبور کامل به موج مایل و ناکافی بودن جهت تنها را توضیح دهید.
انتگرال ضریب پله‌ای و sinc را استخراج و کسر ضریب را از بازده جدا کنید.
آفست انتخابی برحسب RMS فاز و هدف دامنهٔ مختلط را مقایسه و هندسهٔ جدید را مستقل بررسی کنید.
عدم‌تراز توان ماسک موضعی را بدون نامیدن جذب فیزیکی توضیح دهید.
با تغییر طول ابرسلول، پهنای باند هارمونیک را مقیاس و همگرایی با تفکیک فیزیکی ثابت طراحی کنید.
فاز تمرکز مایل یا خارج‌محور و مشاهده‌پذیر مناسب کانون خطی را استخراج کنید.
ضرایب جونز در پایهٔ دایروی و کانال تبدیل‌شده و نشده را تعیین کنید.
آزمون قطعهٔ متناهی، FEM/FDTD، پاشندگی یا ساخت با معیار پذیرش سنجش‌پذیر پیشنهاد کنید.

به مثال‌ها و آزمایشگاه بروید. بستهٔ منبع، کد، داده، محیط و کنترل را برای توسعهٔ دانشجویی از طریق درخواست ادغام حفظ می‌کند.

بررسی‌های محاسباتی مرتبط¶

با ms-09: پهنای باند طیفی، ms-10: سلول مستقل و ابرسلول و ms-11: بهینه‌سازی کران‌دار با کنترل مستقل ادامه دهید. این بررسی‌های اجراشده از همان هندسهٔ مشخص تیغه‌ای استفاده و پاسخ طیفی، تقریب مدل و اعتبارسنجی طرح را به هم وصل می‌کنند. طراحی معکوس، مرجع تمام‌موج مستقیم برای مقایسهٔ بعدی هوش مصنوعی است.