فصل ۶: مدل‌سازی عددی و روش‌های شبیه‌سازی

آیا ممکن است محاسبه‌ای توان را تا پانزده رقم حفظ کند، اما موج عبوری را نادرست پیش‌بینی کند؟ بله. در این فصل چنین نتیجه‌ای را ایجاد می‌کنید، علت آن را می‌یابید و دقت محاسبه را بهبود می‌دهید.

در فصل ۲، برای یک لایهٔ تخت حل دقیق پراکندگی داشتیم. اکنون همان مسئلهٔ فیزیکی را با تفاضل محدود حل و نتیجه‌ها را مقایسه می‌کنیم. این مسئلهٔ مرجع، خطای روش عددی را از عدم قطعیت دربارهٔ ساختار فیزیکی جدا می‌کند. سپس به پالایش هارمونیک‌های فصل‌های ۳ و ۵ بازمی‌گردیم.

از مثال‌های حل‌شده، آزمایشگاه تعاملی و دفترچهٔ اجراشده استفاده کنید. پیش‌نیازها فصل ۲، دستگاه‌های خطی و اعداد مختلط‌اند؛ مقایسهٔ RCWA به فصل‌های ۳ تا ۵ نیز نیاز دارد. پیش از اعتماد به یک کتابخانهٔ پاسخ تازه، این مسیرِ روش‌های عددی را مطالعه کنید.

برش سه‌بعدی لایهٔ یکنواخت و شبکهٔ یک‌بعدی z، با وجه فیزیکی، موج فرودی، بازتاب، عبور و مرز تابشی. — جسم آزمون یک لایهٔ یکنواخت و نامتناهی در x و y است: d = 0.60 µm، ضریب لایه ۲٫۴ و محیط بیرونی ۱٫۰. گرهٔ عددی لایهٔ مادی بیشتر نیست. طرح مرجع N = 8 و فاصلهٔ بیرونی صفر را نشان می‌دهد؛ کاوشگر تعداد شبکه و شرح فاصله را با کنترل‌ها تغییر می‌دهد.

چه چیزهایی باید بیاموزید؟¶

در پایان باید بتوانید برای هندسه و مشاهده‌پذیر مشخص، خانوادهٔ حل‌گر مناسبی انتخاب کنید؛ یک گسسته‌سازی کوچک در حوزهٔ فرکانس را استخراج کنید؛ باقیماندهٔ معادله را از خطای پیش‌بینی جدا کنید؛ کنترل‌های مستقل عددی را پالایش کنید؛ دامنه‌های مختلط را در صفحات مرجع مشترک مقایسه کنید؛ و معیار پذیرشی بازتولیدپذیر بنویسید.

دامنهٔ اجراشده: یک تیغهٔ دی‌الکتریک تخت و یک‌بعدی، همسانگرد، غیرمغناطیسی و بی‌اتلاف با تابش عمودی و ضریب شکست یکسان در دو محیط بیرونی؛ همچنین بررسی مکمل پالایش هارمونیک با حل‌گر موجود ریج TE. مقایسه‌های FEM، حوزهٔ زمان، دستگاه متناهی، مادهٔ پاشنده و آزمایش فیزیکی که در ادامه می‌آیند، طرح‌هایی برای گسترش آزمایشگاه‌اند.

پیش از حل‌گر، مسئله را انتخاب کنید¶

ابتدا تابش، قانون ماده، هندسه، شرایط مرزی، کمیت گزارش‌شده و دقت مطلوب را مشخص کنید. تصویر بزرگ میدان هنگامی مفید است که نرمال‌سازی، مکان و کنترل‌های عددی آن معلوم باشند.

روش	کاربرد مناسب در این درس	کنترل‌هایی که به پالایش مستقل نیاز دارند
مدل دقیق تخت، مرز یا ورقه	حالت‌های حدی، علامت‌ها، صفحات فاز و بررسی اولیهٔ کم‌هزینهٔ طراحی	تقریب فیزیکی و اعتبار پارامترها؛ شبکهٔ فضایی وجود ندارد
RCWA یا روش مدی فوریه	ساختارهای تناوبی لایه‌ای و کانال‌های پراش	قطع هارمونیک‌ها، نمایش فوریهٔ ماده؛ لایه‌بندی هنگامی که هندسه در راستای انتشار تغییر می‌کند
FDFD	مسئلهٔ مقدار مرزی در حوزهٔ فرکانس روی شبکهٔ فضایی	شبکه، نمایش فصل مشترک، مرزها، دامنه و جای مانیتورها، حل دستگاه خطی
FEM	میدان‌های برداری روی شبکه‌های منطبق با هندسه‌های پیچیده	اندازه و مرتبهٔ المان، هندسهٔ خمیده، پورت‌ها و مرزها، رواداری حل‌گر
FDTD	میدان‌های وابسته به زمان و طیف حاصل از تحریک زمانی	گام‌های مکان و زمان، طیف منبع، مدت اجرا، مدل فصل مشترک، دامنه و جاذب‌ها
معادلهٔ انتگرالی سطحی یا BEM	پراکندگی با ناحیه‌های قطعه‌وار همگن مناسب	شبکهٔ سطحی، انتگرال‌گیری عددی، حل دستگاه و فرض‌های تابع گرین محیط زمینه

مقدمهٔ Meep گسسته‌سازی مکان و زمان آن را شرح می‌دهد. یادداشت‌های ماکسول MFEM المان‌های یالی سازگار با مؤلفهٔ مماسی را توضیح می‌دهند. مستندات پیاده‌سازی SCUFF-EM گسسته‌سازی جریان سطحی را شرح می‌دهند. این‌ها مرجع روش‌اند؛ هیچ‌یک از این بسته‌ها در این آزمایشگاه اجرا نمی‌شود.

کد RCWA ریج، میدان‌های مدی را درون هر لایهٔ یکنواخت به‌صورت تحلیلی منتشر می‌کند. گام زمانی یا شبکهٔ z ندارد که پالایش شود. مقایسه با grcwa، پیاده‌سازی دیگری از همان خانوادهٔ روش را می‌آزماید. مقایسهٔ تازهٔ FDFD تیغه، خانوادهٔ متفاوتی را فقط برای هندسهٔ تیغه بررسی می‌کند.

چهار پرسش متفاوت دربارهٔ خطا¶

برای دستگاه گسستهٔ $A_h u_h=b_h$ و ضریب عبور مختلط گزارش‌شدهٔ $t_h$ ، تعریف می‌کنیم:

\rho_h=\frac{\|A_hu_h-b_h\|_2}{\|b_h\|_2},\qquad \delta_P=|1-R_h-T_{h,\mathrm{net}}|,\qquad e_t=|t_h-t_{\mathrm{exact}}|.

(1)

باقیمانده می‌پرسد دستگاه مونتاژشده را با چه دقتی حل کرده‌ایم. توازن توان، رابطهٔ بقای مسئلهٔ گسسته را بررسی می‌کند. خطای دامنه می‌پرسد این مسئله با چه دقتی یک حل پیوستهٔ معلوم را پیش‌بینی می‌کند. اختلاف مدل می‌پرسد آیا هر یک از این مسئله‌های ایده‌آل، دستگاه واقعی را توصیف می‌کند. کوچک‌بودن دو سنجهٔ اول، دو مورد آخر را کراندار نمی‌کند.

هندسه، عدم قطعیت ماده، گسسته‌سازی، مرزهای مصنوعی، حل جبری و استخراج مشاهده‌پذیر را در بودجهٔ خطا جدا نگه دارید. اثرهای آن‌ها ممکن است همبسته باشند؛ جمع مربعی خطاها به مدل آماری موجه نیاز دارد. حذف یک قطبش یا انتخاب قانون مادهٔ نادرست با پالایش شبکه برطرف نمی‌شود.

یک محاسبهٔ لایهٔ تخت در حوزهٔ فرکانس بسازید¶

از قرارداد $e^{-i\omega t}$ ، عدد موج $k_0=2\pi/\lambda_0$ و میدان $E_y(z)$ در تابش عمودی استفاده کنید. تیغه ناحیهٔ $0<z<d$ را اشغال می‌کند؛ ضریب شکست درون آن $n_f$ و در هر دو سوی بیرونی $n_e$ است و هر دو حقیقی‌اند:

\frac{d^2 E}{dz^2}+k_0^2 n^2(z)E=0,\qquad E(z<0)=e^{ik_ez}+r e^{-ik_ez},\qquad E(z>d)=t e^{ik_e(z-d)},\qquad k_e=k_0n_e.

(2)

پس مرجع $r$ وجه ورودی و مرجع $t$ وجه خروجی است. دامنهٔ میدان فرودی در وجه ورودی یک است. حل مرجع دقیق، فرمول مستقل فرنل برای لایه در فصل ۲ است.

هر دو وجه را روی گره‌ها قرار دهید، $h=d/N$ را بگیرید و مشتق دوم را با شابلون مرکزی جایگزین کنید:

E_{j-1}+\bigl[(k_0h)^2\varepsilon_j-2\bigr]E_j+E_{j+1}=0.

(3)

گره‌های داخلی از $\varepsilon_j=n_f^2$ ، گره‌های بیرونی از $n_e^2$ و گرهٔ هر وجه از $(n_f^2+n_e^2)/2$ استفاده می‌کنند. این میانگین فصل مشترک برای میدان الکتریکی مماسی اسکالر و تیغهٔ منطبق با شبکهٔ ماست؛ دستور عمومی برای مؤلفهٔ عمودی میدان الکتریکی، فلزها، گوشه‌های خمیده یا معادلات برداری ماکسول نیست.

محیط بیرونی یکنواخت، موج روندهٔ گسسته‌ای با گام فاز $\theta$ دارد:

4\sin^2(\theta/2)=(k_eh)^2,\qquad \theta=2\arcsin(k_eh/2),\qquad k_eh<2.

(4)

حد قطع شبکه، محدودیت ریاضی دامنهٔ روش است و توصیه‌ای برای دقت نیست. حتی با فاصلهٔ کافی از این حد، پاشندگی عددی می‌تواند چشمگیر باشد. پیاده‌سازی شرط $k_0h\max(n_f,n_e)<2$ را در هر دو محیط لازم می‌داند. شبکه‌های درشتِ مجاز همچنان ممکن است نادقیق باشند و برای آشکارکردن این خطا حفظ می‌شوند.

مقدار گرهٔ شبح خروجی سمت راست $E_{J+1}=e^{i\theta}E_J$ است. در سمت چپ، موج فرودی معلوم را اضافه و رفتار خروجی را بر بخش بازتابی اعمال کنید. این مرزهای خروجی گسسته برای شابلون محیط بیرونی همگن دقیق‌اند. این مرزها PML نیستند. یک گزینهٔ عمداً نامنطبق، در سمت راست از $e^{ik_eh}$ استفاده می‌کند تا بازتاب مصنوعی کوچک را آشکار کند.

ببینید چرا بقای توان گواه دقت نیست¶

نمودار لگاریتمی پالایش شبکه برای مقایسهٔ خطای ضریب عبور مختلط، باقیماندهٔ جبری و عدم توازن توان گسسته. — سه سنجه به پرسش‌های متفاوت پاسخ می‌دهند. دستگاه درشتِ پایستار می‌تواند باقیمانده و نقص توان بسیار کوچکی داشته باشد، در حالی که ضریب عبور مختلط آن نادقیق است. خطا نسبت به حل مرجع با پالایش فضایی کاهش می‌یابد.

برای تیغهٔ منتشرشده، $\lambda_0=1.55\,\mu\mathrm m$ ، $d=0.60\,\mu\mathrm m$ ، $n_f=2.4$ و $n_e=1$ است. پیش از دوبرابرکردن $N$ پیش‌بینی کنید کدام منحنی بیشترین تغییر را خواهد داشت. علاوه بر توان، خطای دایروی فاز را نیز بررسی کنید. اختلاف فاز از $\arg(t_h t_{\rm exact}^*)$ به دست می‌آید و نزدیک صفرِ عبور، اطلاعات مفیدی نمی‌دهد.

میدان الکتریکی حقیقی و خطای نقطه‌به‌نقطه برای شبکه‌های درشت و پالایش‌شده در مقایسه با میدان دقیق تیغه. — توافق میدان در مختصات فیزیکی و نرمال‌سازی فرودی یکسان بررسی می‌شود. شبکه‌های ریزتر، انباشت فاز و تداخل را بهتر بازنمایی می‌کنند؛ ناحیهٔ سایه‌خورده همان لایهٔ فیزیکی است.

مانیتور را جابه‌جا کنید، دستگاه را ثابت نگه دارید¶

فرض کنید دامنه‌های فرودی و بازتابی در گره‌ای با فاصلهٔ $L_-$ پیش از وجه ورودی و دامنهٔ عبوری در گره‌ای با فاصلهٔ $L_+$ پس از وجه خروجی استخراج شوند. با نرمال‌سازی نسبت به میدان فرودی موضعی، ضرایب خام از روابط زیر پیروی می‌کنند:

r_{\rm mon}=r_0 e^{2ik_hL_-},\qquad t_{\rm mon}=t_d e^{ik_h(L_-+L_+)},\qquad k_h=\theta/h.

(5)

فاز انتشار را با همان قانون انتشار شبکهٔ حل‌شده حذف کنید. استفاده از عدد موج پیوستهٔ $k_e$ به‌جای آن، خطایی متناسب با $(k_h-k_e)L$ باقی می‌گذارد. ممکن است توان ثابت بماند اما فاز دچار رانش شود. با مرز راستِ عمداً نامنطبق، موج‌های رو به جلو و عقب در محیط خروجی هم‌زمان وجود دارند؛ شار خالص آن‌ها را جداگانه گزارش کنید. در این حالت $t_{\rm mon}$ ضریب موج رو به جلو است که با تجزیهٔ موج‌های رفت و برگشت استخراج می‌شود؛ مربع اندازهٔ میدان کل در یک گرهٔ مانیتور، توان عبوری رو به جلو نیست.

J_{j+1/2}=\operatorname{Im}(E_j^*E_{j+1}),\qquad T_{\rm net}=T_{\rm forward}-T_{\rm backward}.

(6)

جریان شبکه در ناحیهٔ بدون منبع با ضریب شکست حقیقی ثابت است. این جریان در حد پیوسته با شار فیزیکی تناسب دارد؛ نرمال‌سازی آن با جریان گسستهٔ فرودی، سنجهٔ مناسب بقای توان در شبکهٔ گسسته را می‌دهد. یکسان‌بودن ضریب شکست دو محیط بیرونی، وزن جریان یکسانی برای دامنه‌های ورودی و خروجی ایجاد می‌کند.

پیمایش مستقل حاشیهٔ محیط بیرونی که پایداری ضرایب مرجع‌شده به وجوه، بازتاب ناشی از مرز و رانش فاز بر اثر حذف نادرست فاز انتشار را نشان می‌دهد. — شبکهٔ لایه را ثابت نگه دارید و حاشیهٔ محیط بیرونی را تغییر دهید. مرز گسسته و حذف فاز انتشارِ درست، ضرایب روی وجوه را ثابت نگه می‌دارند. نامنطبق‌بودن مرز و خطای صفحهٔ مرجع، نشانه‌های متفاوتی برجا می‌گذارند.

در شبیه‌سازی بزرگ‌تر FEM یا FDTD، مرزهای باز معمولاً از لایه‌های جاذب استفاده می‌کنند. عملکرد PML همچنان به بررسی ضخامت و فاصله نیاز دارد؛ مستندات PML در Meep را ببینید. هندسه، شبکه و اندازهٔ جاذب را هم‌زمان تغییر ندهید و نتیجه را مطالعهٔ همگرایی شبکه ننامید.

همگرایی را برآورد و معیار پذیرش را انتخاب کنید¶

اگر در بازه‌ای مجانبی $Q_h=Q_*+Ch^p+o(h^p)$ باشد، سه شبکه با نسبت پالایش یکسان اجازه می‌دهند بنویسیم:

p_{\rm obs}=\log_2\left|\frac{Q_h-Q_{h/2}}{Q_{h/2}-Q_{h/4}}\right|,\qquad Q_*\approx Q_{h/2}+\frac{Q_{h/2}-Q_h}{2^p-1}.

(7)

این رابطه را برای مشاهده‌پذیری با تعریف ثابت، مانند ضریب عبور مختلط، به کار ببرید و نزدیک حذف متقابل خطاها و خطای گردکردن احتیاط کنید. این برآوردها به مشاهدهٔ روند مجانبی نیاز دارند و کران قطعی نیستند. ناپیوستگی‌ها، پله‌ای‌شدن هندسه، گوشه‌ها و تغییر نمایش ماده می‌توانند نرخ همگرایی را عوض کنند. بحث هموارسازی زیرپیکسلی در Meep نمونه‌هایی از اثر فصل مشترک دارد؛ تیغهٔ اسکالر منطبق با شبکهٔ ما، نرخ مرتبهٔ دوم را برای همهٔ مسئله‌ها اثبات نمی‌کند.

پیش از انتخاب شبکه، رواداری‌ها را متناسب با تصمیم طراحی تعیین کنید. برای مثال، کتابخانه‌ای حساس به فاز می‌تواند هم $|\Delta t|<10^{-3}$ و هم تغییر فاز کمتر از $0.1^\circ$ را در نقاطی که عبور قابل توجه است لازم بداند. هندسه‌ها و فرکانس‌های دشوارترِ مرتبط را بیازمایید؛ یک شبکهٔ پذیرفته‌شده را به تمام ساختارهای تشدیدی تعمیم ندهید.

این عادت را به فراسطوح نقش‌دار منتقل کنید¶

مقایسهٔ پالایش هارمونیک RCWA با نمایش تغییرات توان مرتبهٔ هدف و سنجه‌های عددی بقای توان. — ابرسلول فصل ۵ نیز پیش از همگرایی توان مرتبهٔ هدف، توان کل را حفظ می‌کند. مرجع مقایسه، محاسبه‌های ذخیره‌شده با هارمونیک‌های بیشتر است؛ این شاهد پالایش است، نه حل دقیق.

برای ریج تناوبی، هارمونیک‌ها را پالایش کنید و هندسه، قانون ماده، تابش، تعریف مرتبه‌ها و صفحات فاز را ثابت نگه دارید. تمام کانال‌های منتشرشونده و دامنهٔ مختلط مورد استفاده در طراحی را بررسی کنید. محاسبه با بیشترین تعداد هارمونیک، مرجع مقایسه است، نه حقیقت ریاضی. پیاده‌سازی دوم، انتخاب‌های نرم‌افزاری را می‌آزماید؛ روشی متفاوت برای همان هندسه، شاهد مکملی می‌افزاید. آزمون مرجع تیغه به‌تنهایی، ابرسلول نقش‌دار را اعتبارسنجی نمی‌کند.

سابقهٔ بازتولیدپذیر شبیه‌سازی¶

مسئلهٔ فیزیکی، اثرهای حذف‌شده از مدل، واحدها و قرارداد فازوری، حل‌گر، نسخه و هش کد، داده‌های ماده، کنترل‌های عددی، تعریف منبع و مانیتور، تمام کانال‌های توان، پالایش‌های مستقل، معیارهای پذیرش و نتیجه‌ها شامل گزینه‌های ناموفق را ثبت کنید. دفترچه و دادهٔ استفاده‌شده برای هر شکل خروجی را بایگانی کنید.

پیش از پذیرش طراحی بعدی: توضیح دهید کدام خطا را تغییر داده‌اید، چه چیز ثابت مانده است، چرا مقایسه مستقل است و کدام نتیجه‌ها هنوز پشتوانه ندارند. هنگامی که مدل‌های تنظیم‌پذیر فصل ۷ آماده شدند، به آن‌ها ادامه دهید؛ همین حالا این بررسی‌ها را در فصل‌های ۳، ۵ و ۱۰ به کار ببرید.

بررسی‌های محاسباتی مرتبط¶

با ms-09: پهنای باند طیفی، ms-10: سلول مستقل و ابرسلول و ms-11: بهینه‌سازی کران‌دار با کنترل مستقل ادامه دهید. این بررسی‌های اجراشده از همان هندسهٔ مشخص تیغه‌ای استفاده و پاسخ طیفی، تقریب مدل و اعتبارسنجی طرح را به هم وصل می‌کنند. طراحی معکوس، مرجع تمام‌موج مستقیم برای مقایسهٔ بعدی هوش مصنوعی است.