Skip to article frontmatterSkip to article content
Site not loading correctly?

This may be due to an incorrect BASE_URL configuration. See the MyST Documentation for reference.

فصل ۴: مثال‌های حل‌شده و مسیر یادگیری

فصل را بخوانید، در مرورگر پیش‌بینی و دفترچه را اجرا کنید؛ این مسیر، شهود را به محاسبهٔ قابل‌بررسی و تغییر وصل می‌کند.

مسیر پیشنهادی

مرحلهفعالیتشاهد
پیش‌بینیچه چیزی در مثال شش عنصر تکرار می‌شود؟طرح گام و دورهٔ اولیه
استخراجفاز بلوخ و بسط فلوکهضریب مرزی و قاعدهٔ بردار موج مماسی
کاوشتغییر طول موج، زاویه، دوره و ضریب خروجیمجموعهٔ کانال، زاویهٔ علامت‌دار و پیش‌بینی قطع
محاسبهاجرای دفترچه از هستهٔ تازهکنترل خودکار تحلیلی و شکل صادرشده
تفسیرکانال باز، توان و ضریب آرایهدامنهٔ ادعای هر مدل
برنامهٔ حل‌گرطرح تمام‌موج آزمایشگاههندسه، پایهٔ درگاه، همگرایی و حساب توان

در کلاس با نوار نماد تکراری دوره را بیابید؛ دانشجو نقاط بردار موج هم‌فاصله را بین مرزهای مخروط نور بچیند و سپس پاسخ مرورگر را ببیند. جلسهٔ دوم می‌تواند آرایهٔ متناهی، توان و تنظیم حل‌گر را پوشش دهد. این پیشنهاد تدریس است، نه برنامهٔ ارزیابی ثابت.

مثال ۱: شش عنصر متفاوت

p=0.5 μmp=0.5\,\mu\mathrm m، Λ=6p=3 μm\Lambda=6p=3\,\mu\mathrm m و λ0=1.55 μm\lambda_0=1.55\,\mu\mathrm m؛ در تابش عمودی به هوا:

qm=m1.553≈0.516667m.q_m=m\frac{1.55}{3}\approx0.516667m.
(1)

شرط سخت ∣qm∣<1|q_m|<1 مرتبه‌های m=−1,0,+1m=-1,0,+1 با زاویه‌های حدود −31.11∘,0∘,+31.11∘-31.11^\circ,0^\circ,+31.11^\circ می‌دهد. مرتبه‌های بعد ∣q±2∣≈1.03333>1|q_{\pm2}|\approx1.03333>1 دارند و در هوا اوانسنت‌اند.

اگر عناصر یکسان شوند، دورهٔ کوچک‌تر p=0.5 μmp=0.5\,\mu\mathrm m ممکن است؛ λ0/p=3.1\lambda_0/p=3.1 و فقط صفر اولیه باز است. سلول محاسباتی شش‌عنصری نام قبلی را نگه می‌دارد، ولی تقارن کوچک‌تر ضریب اضافی را صفر می‌کند.

کنترل استدلال: نقشهٔ دورهٔ 3 μm3\,\mu\mathrm m، توان قابل‌توجه هیچ مرتبهٔ اولی را ثابت نکرده؛ آن ادعا محاسبهٔ پراکندگی می‌خواهد.

مثال ۲: محیط خروجی را عوض کنید

همان هندسه و تابش عمودی، با no=1.5n_o=1.5:

∣m∣<1.5(3)1.55≈2.90323.|m|<\frac{1.5(3)}{1.55}\approx2.90323.
(2)

مرتبه‌های −2,−1,0,+1,+2-2,-1,0,+1,+2 با زاویه‌های تقریبی −43.54∘,−20.15∘,0∘,+20.15∘,+43.54∘-43.54^\circ,-20.15^\circ,0^\circ,+20.15^\circ,+43.54^\circ بازند. تکانهٔ مماسی یکسان بر عدد موج بیرونی بزرگ‌تر تقسیم می‌شود؛ زاویهٔ اول کوچک‌تر و مرتبه‌های بیشتری ممکن می‌شوند.

ادامه: ni≠non_i\ne n_o و تابش مایل را بررسی کنید. چرا تغییر ضریب ورودی qiq_i را تغییر می‌دهد، اما تغییر فقط ضریب خروجی مرز مخروط نور را؟

مثال ۳: تابش مایل مایکروویوی

λ0=30 mm\lambda_0=30\,\mathrm{mm}، Λ=25 mm\Lambda=25\,\mathrm{mm}، ni=no=1n_i=n_o=1 و θi=20∘\theta_i=20^\circ. با تقریب آموزشی c=3.00×108 m/sc=3.00\times10^8\,\mathrm{m/s}، فرکانس ۱۰ گیگاهرتز است.

qi=sin⁡20∘≈0.342020,qm=0.342020+1.2m.q_i=\sin20^\circ\approx0.342020,\qquad q_m=0.342020+1.2m.
(3)

صفر دارای q0=0.342020q_0=0.342020 و θ0=20∘\theta_0=20^\circ است. مرتبهٔ -1، q−1≈−0.857980q_{-1}\approx-0.857980 و θ−1≈−59.09∘\theta_{-1}\approx-59.09^\circ دارد. مرتبهٔ +1 با q+1≈1.542020q_{+1}\approx1.542020 بسته است و بقیه نیز بسته‌اند.

بردار موج مماسی فرودی:

kx,i=2π0.030sin⁡20∘≈71.63 rad/m.k_{x,i}=\frac{2\pi}{0.030}\sin20^\circ\approx71.63\,\mathrm{rad/m}.
(4)

پیشروی فاز در دورهٔ مثبت kx,iΛ≈1.791 rad≈102.61∘k_{x,i}\Lambda\approx1.791\,\mathrm{rad}\approx102.61^\circ و ضریب e+i1.791e^{+i1.791} است. نگاشت معکوس، وارون آن را می‌خواهد.

تشخیص: با حفظ معادلهٔ ما، باز دانستن m=+1m=+1 خطای علامت است. نام‌گذاری مخالف حل‌گر می‌تواند همان باریکهٔ فیزیکی را توصیف کند، اگر بردار موج و نام‌ها صریح نگاشت شوند.

مثال ۴: باز شدن کانال در آستانه

Λ=0.8 μm\Lambda=0.8\,\mu\mathrm m، λ0=1.55 μm\lambda_0=1.55\,\mu\mathrm m، ni=1n_i=1 و زاویهٔ مثبت افزاینده؛ برای m=−1m=-1:

q−1=sin⁡θi−1.9375.q_{-1}=\sin\theta_i-1.9375.
(5)

اولین تماس با مرز منفی مخروط نور:

sin⁡θc=1.9375−no.\sin\theta_c=1.9375-n_o.
(6)

برای no=1.5n_o=1.5، θc≈25.94∘\theta_c\approx25.94^\circ و برای هوا θc≈69.64∘\theta_c\approx69.64^\circ. دقیقاً روی آستانه مماسی، کمی پایین‌تر بسته و کمی بالاتر باز است. در θi=45∘\theta_i=45^\circ، خروجی شیشه m=−1,0m=-1,0 و هوا فقط صفر را دارد.

دفترچه دو سوی آستانه را با فاصلهٔ بزرگ‌تر از رواداری عددی می‌آزماید. شبکهٔ زاویهٔ درشت می‌تواند تغییر را از دست بدهد؛ قطع تحلیلی کنترل مستقل مفیدی است.

مثال ۵: دامنه، توان و مرز تخت

تابش عمودی ni=1n_i=1 به nt=1.5n_t=1.5، ضریب الکتریکی TE برابر r=−0.2,t=0.8r=-0.2,t=0.8 دارد:

R=0.04,T=ntni∣t∣2=0.96.R=0.04,\qquad T=\frac{n_t}{n_i}|t|^2=0.96.
(7)

جمع توان یک است. عبارت ∣r∣2+∣t∣2=0.68|r|^2+|t|^2=0.68 دامنهٔ بهنجارنشده را با توان مخلوط می‌کند.

اگر برای همان مرز تخت دورهٔ مصنوعی 3 μm3\,\mu\mathrm m در λ0=1.55 μm\lambda_0=1.55\,\mu\mathrm m بگذاریم، نقشهٔ هوا و شیشه مرتبهٔ باز اضافی دارد؛ ولی تقارن انتقال پیوسته فقط پراکندگی آینه‌ای و دامنهٔ صفر بقیه را می‌دهد.

تفسیر: نقشهٔ کانال و حل دامنه دو بخش یک مسئله‌اند. نقشهٔ درست برای حساب توان لازم است، ولی مقدارهای حساب را نمی‌دهد.

مثال ۶: کران فاصله برای محدودهٔ اسکن

با ni=no=1n_i=n_o=1، λ0=1.55 μm\lambda_0=1.55\,\mu\mathrm m و ∣θi∣≤60∘|\theta_i|\leq60^\circ، شرط کافی بسته ماندن مرتبهٔ غیرصفر:

Λ<1.551+sin⁡60∘ μm≈0.831 μm.\Lambda<\frac{1.55}{1+\sin60^\circ}\,\mu\mathrm m \approx0.831\,\mu\mathrm m.
(8)

این از شرط فقط عمودی Λ<1.55 μm\Lambda<1.55\,\mu\mathrm m سخت‌تر است. برابری، مرتبهٔ مماسی در انتهای اسکن می‌دهد. با تغییر ضریب خروجی یا طول موج، کران را دوباره محاسبه کنید؛ نیم‌طول‌موج قاعدهٔ جهانی نیست.

کنترل گزارش

قرارداد و واحد، استدلال دورهٔ اولیه، پارامتر، کران شمارش، رواداری قطع، مجموعهٔ باز، زاویهٔ علامت‌دار و کنترل‌های دفترچه را نگه دارید. یک کانال باز با دامنهٔ صفر و یک علت اهمیت کانال بسته را شرح دهید.

کمیت آرایهٔ متناهی را ضریب آرایهٔ اسکالر بهنجارشده بنامید. گزارش تمام‌موج آینده به ضریب مدی مختلط، مخرج توان فرودی، تراز همهٔ کانال‌ها و پالایش مستقل نیاز دارد. زاویهٔ تحلیلی، بازده ادعایی را تأیید نمی‌کند.

ارتباط با دوره

فصل ۳ کتابخانهٔ ریج TE و فصل ۵ انحراف باریکهٔ تمام‌موج و مدل جبهه‌موج را با همین کانال‌ها می‌سازند. فصل ۶ همگرایی عددی را با جزئیات بیشتر بررسی می‌کند. در فصل ۱۰، مدل یادگیری باید پایهٔ کانال سازگار داشته باشد؛ باز و بسته شدن در قطع می‌تواند نمایش داده و راستی‌آزمایی را تغییر دهد.

فصل ۴ — تناوب و پراش
تناوب و پراش
فصل ۴ — تناوب و پراش
آزمایشگاه فلوکه